Исследование и построение графиков функций с помощью системы "Математика". Голованева Ф.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
Если
lim
i
tt →
x(t) = ∞ и
lim
i
tt →
y(t) = ∞,
то возможна наклонная асимптота
y = kx + b. Находим
)t(x
)t(y
limk
i
tt →
= , ))t(kx)t(y(limb
i
tt
−
=
→
. Если данные пределы
существуют и конечны, то кривая имеет наклонную асимптоту, уравнение ко-
торой y = kx + b.
Чтобы найти точки перегиба графика функции, считаем величину
3
t
tttt
xx
)x(
yxyx
y)t(K
′
′
′
′
−
′
′
′
=
′′
= . Находим точку , в которой К (t) = 0, а затем проверяем ,
меняет ли К (t) знак при прохождении через эту точку . Если меняет , то данная
точка является точкой перегиба кривой (рис. 5). Причем , если К (t) > 0 в некото-
рой точке, то кривая в окрестности данной точки расположена слева от каса -
тельной (рис.3) – выпуклость графика функции вниз; если К (t) < 0 – справа
(рис. 4) – выпуклость графика функции вверх .
Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
3. Образец построения графика функции, заданной параметрически
Пример 1: Построить график функции x = t
2
у =
3
2
t(3 – t
2
)
1. Функции x(t) и y(t) определены для всех значений параметра t и диффе-
ренцируемы во всех точках .
2. Очевидно, что
+∞
=
−∞
=
+∞
=
+∞→−∞→±∞→
)t(ylim;)t(ylim;)t(xlim
ttt
.
3. Функция не ограничена.
4. Асимптот нет . Убедитесь в этом самостоятельно.
5. х = 0 при t = 0; y = 0 при t = 0; 3± .
6. Из уравнений кривой видно, что кривая симметрична относительно оси абс -
цисс: при изменении знака t меняется только знак ординаты и сохраняется
значение абсциссы. Следовательно, достаточно построить кривую для t>0.
7. Найдем точки самопересечения кривой из условий:
t
2
=
2
1
t , t(3 – t
2
) = t
1
(3 -
2
1
t ).
Из первого уравнения, а также зная, что t и t
1
различны, получим t = -t
1
. Под -
ставляя это значение во второе уравнение, получим t(3 – t
2
) = 0. Если t = 0, то
и t
1
= 0, т .е. t = t
1
, что невозможно. Следовательно, остается t= 3 , t
1
= - 3 .
Этим значениям соответствует одна и та же точка с координатами (3; 0), но
угловые коэффициенты касательных различны. Тангенс наклона касатель-
ной к оси абсцисс равен
x
y
′
, но
t
t
x
x
y
y
′
′
=
′
. Найдем
x
y
′
при t = ± 3 .
In[ ] (D[(2/3)*t*(3-t^2),t])/(D[t^2,t]) SHIFT+ENTER 
                                                  23
        Если   lim x(t) = ∞ и lim y(t) = ∞,
               t→ ti             t→ ti
                                                   то возможна наклонная асимптота

                                         y( t )
y = kx + b. Находим k =lim                       , b =lim( y( t ) −kx ( t )) . Если данные пределы
                                  t→ t i x ( t )      t→ ti

существуют и конечны, то кривая имеет наклонную асимптоту, уравнение ко-
торой y = kx + b.
        Чтобы найти точки перегиба графика функции, считаем величину
               x ′ y ′′ −x ′′ y ′
K ( t ) =y ′xx
            ′ = t t 3 t t . Находим точку, в которой К(t) = 0, а затем проверяем,
                    ( x ′t )
меняет ли К(t) знак при прохождении через эту точку. Если меняет, то данная
точка является точкой перегиба кривой (рис. 5). Причем, если К(t) > 0 в некото-
рой точке, то кривая в окрестности данной точки расположена слева от каса-
тельной (рис.3) – выпуклость графика функции вниз; если К(t) < 0 – справа
(рис. 4) – выпуклость графика функции вверх.




            Рис. 3                                Рис. 4                          Рис. 5

          3. Образец построения графика функции, заданной параметрически
Пример 1: Построить график функции x = t 2
                                                                2
                                                       у=         t(3 – t2)
                                                                3
1. Функции x(t) и y(t) определены для всех значений параметра t и диффе-
   ренцируемы во всех точках.
2. Очевидно, что lim x ( t ) =+∞; lim y( t ) =−∞; lim y( t ) =+∞ .
                       t → ±∞            t → −∞        t → +∞

3. Функция не ограничена.
4. Асимптот нет. Убедитесь в этом самостоятельно.
5. х = 0 при t = 0; y = 0 при t = 0; ± 3 .
6. Из уравнений кривой видно, что кривая симметрична относительно оси абс-
   цисс: при изменении знака t меняется только знак ординаты и сохраняется
   значение абсциссы. Следовательно, достаточно построить кривую для t>0.
7. Найдем точки самопересечения кривой из условий:
   t2 = t12 , t(3 – t2) = t1(3 - t12 ).
   Из первого уравнения, а также зная, что t и t1 различны, получим t = -t1. Под-
   ставляя это значение во второе уравнение, получим t(3 – t2) = 0. Если t = 0, то
   и t1= 0, т.е. t = t1, что невозможно. Следовательно, остается t= 3 , t1= - 3 .
   Этим значениям соответствует одна и та же точка с координатами (3; 0), но
   угловые коэффициенты касательных различны. Тангенс наклона касатель-
                                                  y′t
     ной к оси абсцисс равен y′x , но y′x =            . Найдем y′x при t = ± 3 .
                                                  x ′t
     In[ ] (D[(2/3)*t*(3-t^2),t])/(D[t^2,t])                                  SHIFT+ENTER

Страницы