Электростатика. Голубев В.Г - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16
()
()()
()
()
222
x
232 32
2
22 22
0
0
0
q2qaq12a
F
16 a
42a
ab
42a2b
πε
πε
πε


=+ =+

+
+

.
()
()()
()
()
22 2
y
232 32
2
22 22
0
0
0
q q 2b q 1 2b
F
16 a
42b
ab
42a2b
πε
πε
πε


=+ =+

+
+

.
Задача 4.3 Заряд
q
находится на расстоянии
a
от центра заземленной металли-
ческой сферы радиуса R. Опреде-
лить силу взаимодействия между
сферой и зарядом.
Решение. Пусть начало координат
находится в точке О. На расстоя-
нии
b
от центра сферы поместим
заряд Q противоположного знака.
Предположим, что на поверхности сферы радиуса R потенциал равен 0. Тогда
для точки на поверхности сферы:
,0
)()(
;
)()(
2222
22
2
22
2
=
+−
−
+−
+−
=
+−
yxa
q
ybx
Q
yxa
q
ybx
Q
учитывая, что
22 2
xyR,
+=
()()
22 22
22 22
2222
bR aR
xx
R b 2bx R a 2ax
2b 2a
;,
QqQ2bq2a
++
−−
+− +−
==
откуда видно, что уравнение обращается в тождество при любых х в случае, ко-
гда
22
Qq
2b 2a
=
,
22 22
bR aR
2b 2a
++
=
;
22 2 2
22
Rb aR
xx
2b 2a
Qq
2b 2a
++
−−
=
далее
()
()
()()
22
2
22 22 2
2
22
bR
bQ
,ab Rb ab Ra,ab R,
aq
aR
+
== + = + =
+
Окончательно
QRb R
;Q q
qaR a
== =⋅
,
Рис.4.4.
-Q
O
b
a
х
q
R 
                                                                                                                                  16

                                                                                                                            
                            q2                         2q 2 a                      q2  1         2a                         .
           Fx =                       +                                        =             +
                   4πε 0 ( 2a )                   ((2a ) + (2b )   )             16πε 0  a ( a 2 + b 2 )3 2                 
                                 2                       2        2 32                     2
                                          4πε 0                                                                             
                                                                                                                            
                            q2                         q 2 2b                      q2  1         2b                         .
            Fy =                      +                                        =             +
                   4πε 0 ( 2b )                   ((2a ) + (2b)    )             16πε 0  a ( a 2 + b 2 )3 2                 
                                  2                      2       2 32                      2
                                          4πε 0                                                                             

Задача 4.3 Заряд q находится на расстоянии a от центра заземленной металли-
                                                                               ческой сферы радиуса R. Опреде-
                                                                               лить силу взаимодействия между
          R         -Q                             q               х сферой и зарядом.
           O
                   b                                                           Решение. Пусть начало координат
                                  a                                            находится в точке О. На расстоя-
                                                                               нии b от центра сферы поместим
            Рис.4.4.                                                           заряд Q противоположного знака.
Предположим, что на поверхности сферы радиуса R потенциал равен 0. Тогда
для точки на поверхности сферы:
                     Q2               q2               Q                  q
                              =                ;                  −                  = 0,
               ( x − b) + y
                       2    2
                                ( a − x) + y
                                        2    2
                                                 ( x − b) 2 + y 2   ( a − x) 2 + y 2
учитывая, что x 2 + y 2 = R 2 ,
                                                                 (b    2
                                                                           + R2 )
                                                                                     −x
                                                                                                 (a   2
                                                                                                          + R2 )
                                                                                                                    −x
               R 2 + b 2 − 2bx R 2 + a 2 − 2ax                             2b                             2a
                              =                ;                                             =                           ,
                     Q2              q2                                    Q 2 2b                         q 2 2a
откуда видно, что уравнение обращается в тождество при любых х в случае, ко-
гда
                                                                R2 + b2             −x       a2 + R2               −x
                    Q2 q2 b2 + R 2 a 2 + R 2                                   2b                             2a
                      =   ,       =          ;                             2
                                                                                         =                2
                    2b 2a    2b       2a                            Q                             q
                                                                               2b                             2a
далее
                   (b   2
                            + R2 )
                               b Q2
                              = = 2 , ( a 2 b + R 2 b ) = ( ab 2 + R 2 a ) , ab = R 2 ,
                   (a   2
                          +R ) a q
                            2


Окончательно
                                                  Q R b        R
                                                   = = ; Q = q⋅ ,
                                                  q a R        a

Страницы