Электростатика. Голубев В.Г - 18 стр.

                                                                                       18

Задача 4.5. На бесконечной металлической плоскости имеется шаровидный вы-
ступ, радиус и высота которого равна R. Определить напряженность поля в
верхней точке выступа, если на большом удалении от выступа электрическое
поле однородно и напряженность его равна E0.
Решение. Пусть в однородном электрическом поле, напряженность которого
равна Е0, находится электрический диполь, ориентированный по направлению
                                                                         !
электрического поля с дипольным моментом равным p . Пусть плоскость, пер-
                                 !
пендикулярная вектору E и проходящая через диполь имеет потенциал равный
0. Определим потенциал, создаваемый электрическим диполем в точке на рас-
стоянии r от него под углом к оси диполя равным α. Пусть расстояния от поло-
жительного и отрицательного заряда диполя до данной точки равны соответст-
венно r1, r2. Расстояние между зарядами диполя l. Так как диполь точечный, то
r2 – r1 = lcosα, а r2⋅r1 = r2.
                                                                    !!
                    q      1 1    q r2 − r1         p cos α       pr
                ϕ=          − =             cos α =           =           .
                   4πε 0    r  r
                            1 2 4πε 0 r r
                                         1 2          4πε 0 r 2
                                                                  4πε 0 r 3

Тогда, общий потенциал диполя и однородного электрического поля ϕо можно
записать в виде:
                                      !!        ! ! !  p!             ! 
                                      pr
                               ϕ0 =           − E  r = r            − E0 ,
                                    4πε 0 r 3
                                                 0
                                                          4πε 0 r
                                                                   3
                                                                          
                           !         !
так как направления p и E одинаковые, в верхней точке выступа получим:
                                             p
                                                     − E0 = 0 .
                                           4πε 0 r 3

Поверхность нулевого потенциала представляет собой пересекающиеся плос-
кость и сферу радиуса R, что соответствует условиям задачи. Тогда, поле в
верхней точке сферического выступа E равно суперпозиции поля E0 и поля то-
чечного диполя, расположенного в центре сферы.
                        q  1 1               q r12 − r22           2p
              E = E0 +        2 − 2  = E0 +               = E  +           = 3E0 .
                       4πε o  r2 r1         4πε o r22 r12        4πε o r 3
                                                               0


Ответ: E = 3E0.