Электростатика. Голубев В.Г - 6 стр.

                                                                                                               6

                                                          σ drdl
                                                  dEx =             cos α ,
                                                          4πε 0 R 2

где R=а/cosα – расстояние от элемента dl до точки А.
                 σ drdl            σ rdr              σ dα                          adα
dE Ax =   "∫ 4πε
          2π r      Oa
                       2
                         cos 3 α =
                                   2ε O a 2
                                            cos 3 α =
                                                      2ε O
                                                           sin α , r = atgα , dr =
                                                                                   cos 2 α
                                                                                           .

                       αo           αO
                                       σdα           σ                                a
                 E Ax = ∫ dE Ax =   ∫0 2ε O sin α =      (1 − cos α 0 ), cos α 0 =           .
                        0
                                                    2ε O                           r02 + a 2

                                                                                                   σ
Для бесконечного диска или бесконечной плоскости α0 = π/2, EAx=                                        .
                                                                                                  2ε O

Задача 2.3. Сфера радиуса R равномерно заря-
жена по поверхности поверхностной плотно-
стью заряда σ. Определить напряженность элек-                                      α       β
трического поля в центре очень маленького от-
                                                                                                           А
верстия на поверхности сферы (рис.2.3).                                                   О
Решение задачи 2.3.
Пусть отверстие находится в точке А.
Шаг 1. Представим поверхность сферы в виде
                                                                                       Рис.2.3.
колец вырезаемых радиус-векторами направ-
ленными из центра сферы под углами α и α + dα отрезку ОА. Тогда эквива-
лентная линейная плотность заряда вдоль дуги этого кольца равна dτ = σRdα.
Напряженность электрического поля в точке А, создаваемая этим кольцом рав-
на:
                                                     dτ 2π R sin α
                                            dE =                         cos β .
                                                   4πε 0 ( 2R cos β )
                                                                     2



                                          ( dτ 4π R sin β ) = σ sin β d β
Поскольку α = 2 β , то dE =                                               .
                                             4πε 0 ( 2R )         2ε 0
                                                         2



Шаг 2.Напряженность электрического поля создаваемая сферой в центре ма-
ленького отверстия получится путем интегрирования по всей поверхности:
                                                       π /2
                                                              σ sin βdβ σ
                                         E = ∫ dE =       ∫            =           .
                                              S           0
                                                                 2ε 0    2ε 0