Электростатика. Голубев В.Г - 8 стр.

                                                                             8

   §3. Метод решения задач с использованием теоремы Гаусса.

Задача 3.1 Шар радиуса R заряжен равномерно по объёму. Объёмная плотность
заряда равна ρ. Внутри шара находится сферическая полость радиуса R0. Рас-
стояние между центрами шара и полости равно а. Определить напряженность
электрического поля в полости.
Решение.
В решении задачи используется принцип суперпозиции электрических полей
для заряженных тел и метод дополнения из задачи 2.3. Для этого заданную сис-
тему зарядов можно представить в виде суперпозиции двух тел, а именно, шара
радиуса R заряженного равномерно по объему плотностью +ρ и шара радиуса
R0 заряженного объемной плотностью -ρ, помещенного на место полости.
Найдем сферически симметричное распределение электрического поля в шаре,
заряженном объемной плотностью ρ. Теорема Гаусса для концентрической
сферической поверхности радиуса r, расположенной внутри такого шара дает:
                          ! !                 4
                      "∫S DdS = q ⇒ 4π r 2 D = π r 3 ρ ,
                                              3
                              !    !
     r                             r
D = ρ , или в векторной форме D = ρ .
     3                             3
Тогда напряженности электрического поля E+ и E- для шаров радиуса R и R0 со-
ответственно равны:
                          !         !               !
                                    r+    !         r−
                          E+ = + ρ      , E− = − ρ      ,
                                   3ε 0            3ε 0
        !   !
где - r+ и r− - радиус-векторы, проведенные из центров соответствующих ша-
ров в произвольную точку находящуюся внутри малого шара.
Откуда результирующее поле E:
                        ! !      !      ! !         !
                                        r+ − r−     a
                        E = E+ − E− = ρ         =ρ      ,
                                          3ε 0     3ε 0
    !
где a – вектор, проведенный из центра большого в центр малого шара.