Задачи по логике. Гомбоева Л.В - 66 стр.

  Теория:
  Таблицы истинности.
  А) Напомним: суждение считается истинным, если оно соответствует действительности; и ложным, если оно
не соответствует действительности. Например, «Уголь - черный» - истинное суждение, «Уголь - белый» - лож-
ное суждение. Суждение А может быть истинным, или ложным. Если А – истинно, то отрицание А – ложно, и
наоборот. Таблица истинности для отрицания ( I ):

                        А           ¬А
                        И            Л
                        Л           И

  Для остальных операций составим общую таблицу истинности (II):

   А     В       А∧В        А∨В        А∨В        А→В         А≡В
   И     И        И          И          Л          И           И
   И     Л        Л          И          И          Л           Л
   Л     И        Л          И          И          И           Л
   Л     Л        Л          Л          Л          И           И

  Запомнить её легко, если понять, как она заполняется:
  Конъюнкция А ∧ В. «В корзине у Нелли лежат подберезовики и подосиновики». А – «В корзине у Нелли ле-
жат подберезовики», В – «В корзине у Нелли лежат подосиновики». Тут может быть четыре варианта ситуаций.
Рассмотрим эти ситуации – «смотрим в корзину». Первая ситуация: в корзине, действительно, есть подберезо-
вики. – А - И; и, действительно, есть подосиновики В - И. Значит, общее суждение (А∧В) будет истинным. Вто-
рая ситуация: в корзине есть подберезовики, но нет подосиновиков: А – И, а В – Л. Значит, общее суждение,
что лежат те и другие, - ложное. Третья ситуация аналогична второй. Четвертая ситуация: нет ни тех, ни дру-
гих. Значит, общее суждение, что лежат те и другие – ложное. Итак, конъюнкция (А∧В) истинна только в одном
случае, если оба операнда (А и В) истинны. В остальных случаях (если хотя бы один из операндов ложен)
конъюнкция ложна.
  Дизъюнкция А ∨ В. «В корзине у Нелли лежат подберезовики или подосиновики». Рассмотрим ситуации: 1)
А-И, В-И. Значит А∨ В – истинно. 2) А-И, В-Л. Значит, А∨ В (лежат подберезовики или подосиновики) – ис-
тинно. 3) А-Л, В-И. Значит, А∨ В – тоже истинно. 4) А-Л, В-Л. Нет ни того, ни другого. Значит, А∨В – ложь.
Итак, дизъюнкция истинна, если хотя бы один операнд истинен. Дизъюнкция ложна, если только оба операнда
ложны.
  Строгая дизъюнкция А ∨ В. «В корзине у Нелли лежали либо подберезовики, либо подосиновики». Рассмот-
рим ситуации: 1) А-И, В-И. Общее суждение в случае строгой дизъюнкции будет ложным. 2) А-И, В-Л. А∨ В –
истинно. 3) А-Л, В-И. А∨ В –истинно. 4) А-Л, В-Л. А∨ В – ложь.
  Импликация А→В. «Если через проводник проходит электрический ток, то проводник нагревается». Рас-
смотрим ситуации: 1) А-И (через проводник, действительно, проходит электрический ток), В – И (проводник
нагревается). Общее суждение А→В будет истинным. 2) А-И (через проводник, действительно, проходит элек-
трический ток), но В – Л (проводник не нагревается). Такая ситуация невозможна, поэтому А→В – ложь. 3) А-
Л, В-И: А→В – считается истинным, потому что проводник может нагреваться и по другим причинам. 4) А-Л,
В-Л: А→В – истина. Итак, импликация (А→В) истинна во всех случаях, кроме одного, когда основание (А) ис-
тинно, а следствие (В) ложно. В таком случае импликация ложна.
  Эквиваленция А≡В. «В нормальных условиях вода замерзает тогда и только тогда, когда температура опуска-
ется ниже нуля градусов по Цельсию». Обозначим: А – «Вода замерзает», В – «Температура ниже нуля граду-
сов». Рассмотрим ситуации: 1) А-И, В-И. Общее суждение будет истинным. 2) А - И, В -Л: Вода замерзает, а
температура не ниже нуля градусов. А ≡ В – ложно. 3) А - Л, В - И: А ≡ В – ложно. 4) А - Л, В – Л (Вода не за-
мерзает, температура не ниже нуля градусов): Общее суждение (А ≡ В) – истинно, так как соответствует дейст-
вительности.
  Таблицы I и II будут опорными для составления других таблиц истинности.
  Законы пронесения отрицания:
  ¬ (А ∧ В) ≡ ¬А ∨ ¬В;
  ¬ (А ∨ В) ≡ ¬А ∧ ¬В;
  ¬ (А → В) ≡ А ∧ ¬В;
  ¬ ¬ А ≡ А.
  Для решения многих логических задач необходимо выяснить: является ли одна формула логическим следст-
вием других.
  Определение: Из множества формул F1, F2, …Fn логически следует формула F, тогда и только тогда, когда
импликация (F1∧F2∧…∧Fn)→F – является логическим законом.
  Пример: Пусть формула F1 - А∧В, а F - А∨В. Определить, следует ли из F1 формула F.



                                                                                                           66