Задачи по логике. Гомбоева Л.В - 67 стр.

 Составим таблицу истинности для формулы (А∧В) → (А∨В):

     Порядок операций →          1           3             2
       А            В          (А∧В)         →           (А∨В)
       И            И            И           И             И
       И            Л            Л           И             И
       Л            И            Л           И             И
       Л            Л            Л           И             Л

  Импликация (здесь: главный знак формулы) всегда принимает истинное значение. И, так как импликация
F1→F2 является логическим законом, значит, из формулы F1 логически следует формула F.
  Сокращенный метод.
  Для установления отношения логического следования таблицы истинности составлять не обязательно.
  Применим рассуждение от противного. Допустим, формула (Ф1→Ф2) не всегда истинна, т.е. она принимает
значение ложь при какой-нибудь интерпретации ее аргументов. Тогда в этом случае формула Ф1 должна при-
нимать значение истина: (А∧В) = И, а Ф2 – ложь: (А∨В) = Л. Из первой формулы следует, что А=И и В=И, а из
второй формулы следует, что хотя бы один из аргументов (А или В) должен принимать значение ложь. Пришли
к противоречию. Значит, нет таких интерпретаций аргументов А и В, при которых эта формула принимает зна-
чение ЛОЖЬ. Значит, формула (Ф1→Ф2) всегда истинна. Если бы нашлись такие А и В, при которых не было
противоречия, то данная формула не была бы тождественно истинной, а значит, не было бы отношения логиче-
ского следования.
  Задача 19. Переведите на символический язык сложные суждения:
  Пример:
  «Если у человека много доброго и мало злого, то он – достойный муж. Если у человека ничего доброго и
много дурного, то он – низкий человек» (Из наследия Чжан Чао).
  Решение:
  Обозначим: А – «У человека много доброго», В – «У человека мало злого», С – «Человек – достойный муж»,
D – «У человека много дурного», Е – «Человек – низкий».
  ((А∧В)→С) ∧ ((¬А∧D)→Е).

  Задачи 20 и 21. Построить таблицы истинности. Определить, является ли выражение логическим законом.
  Пример 1: Составить таблицу истинности для выражения: ((А→В) ∧¬В)→¬А.
  Решение: Сначала определяем порядок выполнения операций. Ясно, что сначала мы можем вычислить значе-
ниях в столбцах (А→В) [1] и ¬В [2]. После конъюнкции (А→В) ∧¬В) [3] вычисляем ¬А [4]. И затем вычисля-
ем значения главного знака формулы - импликации → [5] между (А→В) ∧¬В) [3] и ¬А [4]. Для выполнения
каждой операции смотрим в опорную таблицу истинности соответствующих операций. Например, третье дей-
ствие – конъюнкция «(А→В)∧¬В» [столбец 3] в первой строке интерпретаций принимает значение «Л», так как
И [1] ∧ Л [2] = Л.

     Порядок операций →       1        3    2      5        4
      А           В       ((А→В)       ∧   ¬В      →       ¬А
      И           И           И        Л    Л      И        Л
      И           Л           Л        Л    И      И        Л
      Л           И           И        Л    Л      И       И
      Л           Л           И        И    И      И       И

  Пример 2: Составить таблицу истинности для выражения
   ((А→В)∧(В∨С))→(А∨С). Определить, является ли выражение логическим законом.
  Теория: Выражение, принимающее значение «истина» при любых интерпретациях переменных, является ло-
гическим законом.
  Решение: Так как в данном выражении три суждения – А, В и С, то в таблице необходимо рассмотреть 8 ин-
терпретаций значений переменных.




67