Основы автоматики. Гордеев А.С. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

83
Если система устойчива, значит все корни левые, то есть ве-
щественные части всех корней отрицательны, что можно запи-
сать как α
i
= -|α
i
| < 0. Подставим их в уравнение:
a
0
(p+ |α
1
|- jω
1
) (p + |α
2
| - jω
2
) |) (p + |α
3
| + jω
3
)… = 0.
Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни
один из коэффициентов α
i
не будет отрицательным.
Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является
положительность всех коэффициентов характеристического
уравнения: α
i
> 0. В дальнейшем будем рассматривать только
уравнения, где α
0
> 0. В противном случае уравнение домножает-
ся на -1.
Рассмотренное условие является необходимым, но недоста-
точным условием. Необходимые и достаточные условия дают ал-
гебраические критерии Рауса и Гурвица.
Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алго-
ритма, по которому заполняется специальная таблица с использо-
ванием коэффициентов характеристического уравнения:
1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с
четными индексами в порядке их возрастания;
2) во второй строке - с нечетными;
3) остальные элементы таблицы определяется по формуле:
c
k,i
= c
k+ 1,i - 2
- r
i
c
k + 1,i - 1
,
где r
i
= c
1,i - 2
/c
1,i - 1
,
i 3 - номер строки,
k - номер столбца.
4) число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка ха-
рактеристического уравнения.
R
i
i\k
1 2 3 4
- 1
c
11
= a
0
c
21
= a
2
c
31
= a
4
...
- 2
c
12
= a
1
c
22
= a
3
c
32
= a
5
...
r
3
= c
11
/cc
12
3 c
13
= c
21
-r
3
c
22
c
23
= c
31
-r
3
c
32
c
33
= c
41
-r
3
c
42
...
r
3
= c
11
/c
12
4 c
14
= c
22
-r
3
c
23
c
24
= c
32
-r
4
c
33
c
34
= c
42
-r
4
c
43
...
... ... ... ... ... ...
Критерий Рауса: для того, чтобы САУ была устойчива, не-
обходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца
таблицы Рауса c
11
, c
12
, c
13
,... были положительными.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
             Если система устойчива, значит все корни левые, то есть ве-
         щественные части всех корней отрицательны, что можно запи-
         сать как αi = -|αi| < 0. Подставим их в уравнение:
                   a0 (p+ |α1|- jω1) (p + |α2| - jω2 ) |) (p + |α3| + jω3)… = 0.
             Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни
         один из коэффициентов αi не будет отрицательным.
             Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является
         положительность всех коэффициентов характеристического
         уравнения: αi > 0. В дальнейшем будем рассматривать только
         уравнения, где α0 > 0. В противном случае уравнение домножает-
         ся на -1.
             Рассмотренное условие является необходимым, но недоста-
         точным условием. Необходимые и достаточные условия дают ал-
         гебраические критерии Рауса и Гурвица.
             Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алго-
         ритма, по которому заполняется специальная таблица с использо-
         ванием коэффициентов характеристического уравнения:
             1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с
         четными индексами в порядке их возрастания;
             2) во второй строке - с нечетными;
             3) остальные элементы таблицы определяется по формуле:
              ck,i = ck+ 1,i - 2 - ri ck + 1,i - 1,
              где ri = c1,i - 2/c1,i - 1,
             i 3 - номер строки,
             k - номер столбца.
             4) число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка ха-
         рактеристического уравнения.

                       Ri         i\k          1                 2                  3          4
                        -          1    c11 = a0          c21 = a2          c31 = a4          ...
                        -          2    c12 = a1          c22 = a3          c32 = a5          ...
                 r3 = c11/cc12     3    c13 = c21-r3c22   c23 = c31-r3c32   c33 = c41-r3c42   ...
                  r3 = c11/c12     4    c14 = c22-r3c23   c24 = c32-r4c33   c34 = c42-r4c43   ...
                       ...        ...         ...               ...                ...        ...

            Критерий Рауса: для того, чтобы САУ была устойчива, не-
         обходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца
         таблицы Рауса c11, c12, c13,... были положительными.

                                                                                                    83

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы