Основы теории транспортных систем. Горев А.Э. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

134 135
А. Э. Горев. Основы теории транспортных систем
Математическое ожидание a = np, дисперсия D
x
= np(1 – p).
Использование биномиального распределения можно пояснить
следующим далее примером. Известно, что 10 % автомобилей не соот-
ветствует требованиям по содержанию вредных веществ в выхлопных
газах. Определить вероятность наличия автомобилей, не соответству-
ющих требованиям, среди четырех, выбранных случайным образом.
Вероятность, что среди четырех выбранных все автомобили бу-
дут соответствовать требованиям, Р
4
(0) = (4!/(0! 4!))0,1
0
⋅ 0,9
4
= 0,6561;
один не будет соответствовать требованиям, Р
4
(1) = (4!/(1! 3!))0,1
1
×
×0,9
3
= 0,2916; два не будут соответствовать требованиям, Р
4
(2) =
= (4!/(2! 2!))0,1
2
⋅ 0,9
2
= 0,0486; три не будут соответствовать требова-
ниям, Р
4
(3) = (4!/(3! 1!))0,1
3
⋅ 0,9
1
= 0,0036; все четыре не будут соот-
ветствовать требованиям, Р
4
(4) = (4!/(4! 0!))0,1
4
⋅ 0,9
0
= 0,0001.
Распределение Пуассона. Данное распределение является
предельным случаем биномиального распределения. Предположим, что
в биномиальном распределении p → 0, а n → ∞, так, что np → а > 0.
Тогда плотность вероятности биномиального распределения принимает
вид распределения Пуассона:
P(x = m) = (a
k
/k!)exp(–a), k = 1, 2, …, m.
Заметим, что распределение Пуассона зависит только от одного
параметра – математического ожидания. Дисперсия случайной вели-
чины X, имеющей распределение Пуассона, численно равна ее матема-
тическому ожиданию. Этим свойством пользуются для оценки близос-
ти эмпирического распределения к распределению Пуассона.
На рис. 3.12 показаны примеры распределения Пуассона, отвечающие
различным значениям математического ожидания.
Для непрерывных величин наиболее часто используются следу-
ющие далее законы распределения.
Нормальное распределение. Наиболее известным непрерывным
распределением является нормальное. Плотность нормального распре-
деления определяется по формуле
].
2
)(
exp[
2
1
)(
2
2
x
x
ax
xf
σ
−
−
πσ
=
Отклонения случайной величины X от математического ожида-
ния практически заключены в интервале ±3σ, при этом вероятность
попадания X в данный интервал равна 0,9973, а в интервале ±2σ – 0,954.
Рис. 3.12. Примеры распределения Пуассона
При значениях а = 0 и σ
х
= 1 нормальную кривую называют нор-
мированной, а соответствующий закон распределения стандартным
нормальным законом распределения. Его функция распределения име-
ет вид
.
2
exp
2
1
)(Ф
2
dz
z
z
z
−
π
=
∫
∞−
Значения функции стандартного нормального закона распределе-
ния табулированы и могут быть найдены в соответствующих справоч-
никах.
Путем подстановки z = (x – a)/σ
x
нормальное распределение с про-
извольными параметрами a и σ
x
приводится к стандартному виду.
Гамма-распределение и распределение Эрланга. Неотрицатель-
ная случайная величина X имеет гамма-распределение, если ее плот-
ность распределения вычисляется по формуле
f(x) = [λ
k
x
k – 1
exp(–λx)]/Г(k),
где k > 0 и l > 0; Г(k) – гамма-функция
Глава 3. Исследование транспортных систем

Страницы