Основы теории транспортных систем. Горев А.Э. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

140 141
А. Э. Горев. Основы теории транспортных систем
числа из ГСЧ в диапазоне [0; 1], n = 12. Число 12 выбрано как доста-
точно большое на основании центральной предельной теоремы тео-
рии вероятностей (теоремы Ляпунова): «Для большого числа N слу-
чайных величин X с любым законом распределения их сумма есть слу-
чайное число с нормальным законом распределения». Тогда случайное
значение X = σ
x
(R – n/2) + m
x
= 10(R –3) + 35.
Таблица 3.10
Алгоритмы моделирования случайных величин
Распределе-
ние
Плотность вероятности Алгоритм датчика
Равномерное
><
≤≤
−
=
bxax
bxa
ab
xf
,,0
;,
1
)(
Встроен в ЭВМ
Экспоненци-
альное
<
≥λ−λ
=
0,0
;0),exp(
)(
x
xx
xf
rx ln
1
λ
−=
Нормальное
πσ
σ
−
=
2
2
2
2
)(
exp
)(
ax
xf
−σ+=
∑
=
12
1
6
i
i
rax
Вейбулла
<
≥
σ
−
σσ
λ
=
λ−λ
0,0
0,exp
)(
1
x
x
xx
xf
λ
−σ=
1
)ln( rx
Моделирование случайного события. Случайное событие под-
разумевает, что у некоторого события есть несколько исходов и кото-
рый из исходов произойдет в очередной раз, определяется только его
вероятностью. То есть исход выбирается случайно с учетом его веро-
ятности. Например, допустим, что нам известна вероятность выпуска
бракованных изделий P
б
= 0,1. Смоделировать выпадение этого собы-
тия можно, разыграв равномерно распределенное случайное число из
диапазона от 0 до 1 и установив, в какой из двух интервалов (от 0 до 0,1
или от 0,1 до 1) оно попало (рис. 3.15). Если число попадает в диапазон
(0; 0,1), то выпущен брак, т. е. событие произошло, иначе – событие не
произошло (выпущено кондиционное изделие). При значительном чис-
ле экспериментов частота попадания чисел в интервал от 0 до 0,1 будет
приближаться к вероятности P = 0,1, а частота попадания чисел в ин-
тервал от 0,1 до 1 будет приближаться к P
к
= 0,9.
ГСЧ: r [0; 1]
r
P
б
= 0,1
P
к
= 0,9
0 0,1 1
P
б
+ P
к
= 1
Рис. 3.15. Схема использования генератора случайных
чисел для генерирования события
События называются несовместными, если вероятность появле-
ния этих событий одновременно равна 0. Отсюда следует, что суммар-
ная вероятность группы несовместных событий равна 1. Обозначим
через a
1
, a
2
, …, a
n
события, а через P
1
, P
2
, …, P
n
– вероятности появле-
ния отдельных событий. Так как события несовместны, то сумма веро-
ятностей их выпадения равна 1: P
1
+ P
2
+ … + P
n
= 1. Снова использу-
ем для имитации выпадения одного из событий генератор случайных
чисел, значение которых также всегда находится в диапазоне от 0 до 1.
Отложим на единичном интервале [0; 1] отрезки P
1
, P
2
, …, P
n
. Понят-
но, что в сумме отрезки составят точно единичный интервал. Точка,
соответствующая выпавшему числу из генератора случайных чисел на
этом интервале, укажет на один из отрезков. Соответственно в боль-
шие отрезки случайные числа будут попадать чаще (вероятность появ-
ления этих событий больше!), в меньшие отрезки – реже (рис. 3.16).
При необходимости моделирования совместных событий их не-
обходимо привести к несовместным. Например, чтобы смоделировать
появление событий, для которых заданы вероятности P(a
1
) = 0,7;
P(a
2
) = 0,5 и P(a
1
, a
2
) = 0,4, определим все возможные несовместные
исходы появления событий a
1
, a
2
и их одновременного появления:
1. Одновременное появление двух событий P(b
1
) = P(a
1
, a
2
) = 0,4.
2. Появление события a
1
P(b
2
) = P(a
1
) – P(a
1
, a
2
) = 0,7 – 0,4 = 0,3.
3. Появление события a
2
P(b
3
) = P(a
2
) – P(a
1
, a
2
) = 0,5 – 0,4 = 0,1.
4. Непоявление ни одного события P(b
4
) = 1 – (P(b
1
) + P(b
2
) +
+ P(b
3
)) = 0,2.
Теперь вероятности появления несовместных событий b необхо-
димо представить на числовой оси в виде отрезков. Получая с помо-
Глава 3. Исследование транспортных систем

Страницы