Основы теории транспортных систем. Горев А.Э. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

142 143
А. Э. Горев. Основы теории транспортных систем
щью ГСЧ числа, определяем их принадлежность тому или иному
интервалу и получаем реализацию совместных событий а.
ГСЧ: r [0; 1]
r
10
P
1
P
1
+ P
2
P
1
+ P
2
+ P
3
P
1
P
2
P
3
P
n
Событие a
1
Событие a
2
Событие a
3
Событие a
n
Рис. 3.16. Схема генерации несовместных случайных событий
с помощью генератора случайных чисел
Часто на практике встречаются системы случайных величин, т. е.
такие две (и более) различные случайные величины X, Y (и другие),
которые зависят друг от друга. Например, если произошло событие X
и приняло какое-то случайное значение, то событие Y происходит хотя
и случайно, но с учетом того, что X уже приняло какое-то значение.
Например, если в качестве X выпало большое число, то в качестве
Y должно выпасть тоже достаточно большое число (если корреляция
положительна, и наоборот, если отрицательна). На транспорте такие за-
висимости встречаются достаточно часто. Большая длительность задер-
жек более вероятна на маршрутах существенной протяженности и т. д.
Если случайные величины зависимы, то
f (x) = f (x
1
) f (x
2
| x
1
) f (x
3
| x
2
, x
1
) ·
…
· f (x
n
| x
n –1
, x
n –2
, …, x
2
, x
1
),
где x
j
| x
j –1
, …, x
1
– случайные зависимые величины: выпадение x
j
при
условии, что выпали x
j –1
, …, x
1
; f (x
j
| x
j –1
, …, x
1
) – плотность условной
вероятности появления x
j
, если выпали x
j –1
, …, x
1
; f (x) – вероятность
выпадения вектора x случайных зависимых величин.
Коэффициент корреляции q показывает, насколько тесно связаны
события X и Y. Если коэффициент корреляции равен единице, то зави-
симость событий X и Y взаимно однозначная: одному значению X соот-
ветствует одно значение Y (рис. 3.17, а)
16
. При q, близких к единице,
возникает картина, показанная на рис. 3.17, б, т. е. одному значению X
могут соответствовать уже несколько значений Y (точнее, одно из не-
скольких значений Y, определяемое случайным образом); т. е. в этом
событии X и Y менее коррелированы, менее зависимы друг от друга.
а б в
0
0 0
Y
Y
Y
X X X
q = 1 q → 1 q → 0
Рис. 3.17. Вид зависимости двух случайных величин при положительном
коэффициенте корреляции:
а – при q = 1; б – при 0 < q < 1; в – при q, близком к 0
И, наконец, когда коэффициент корреляции стремится к нулю,
возникает ситуация, при которой любому значению X может соответ-
ствовать любое значение Y, т. е. события X и Y не зависят или почти не
зависят друг от друга, не коррелируют друг с другом (рис. 3.17, в).
Для примера возьмем нормальное распределение, как самое рас-
пространенное. Математическое ожидание указывает на самые веро-
ятные события, здесь число событий больше и график событий гуще.
Положительная корреляция указывает, что большие случайные вели-
чины X вызывают к генерации большие Y. Нулевая и близкая к нулю
корреляция показывает, что величина случайной величины X никак не
связана с определенным значением случайной величины Y. Легко
понять сказанное, если представить себе сначала распределения f (X)
и f (Y) отдельно, а потом связать их в систему, как это представлено
на рис. 3.18.
В рассматриваемом примере X и Y распределены по нормальному
закону с соответствующими значениями m
x
, σ
x
и m
y
, σ
y
. Задан коэффи-
циент корреляции двух случайных событий q, т. е. случайные величи-
ны X и Y зависимы друг от друга, Y не совсем случайно.
Тогда возможный алгоритм реализации модели будет следующим:
1. Разыгрывается шесть случайных равномерно распределенных
на интервале [0; 1] чисел: b
1
, b
2
, b
3
, b
4
, b
5
, b
6
; находится их сумма S:
Глава 3. Исследование транспортных систем
16
Конечно, два случайных числа не могут однозначно зависеть друг от друга, рис. 3.17, а
приведен для ясности понятия корреляции.

Страницы