ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ВВЕДЕНИЕ
Основная операция классического математического анализа – операция предельного пе-
рехода в различных её вариантах (предел числовой последовательности, предел функции в точ-
ке или на бесконечности, предел функции в точке по всей области определения или её части и
др.). С предельным переходом связаны основные свойства функций. Идея предельного пере
-
хода получила дальнейшее развитие при переходе от функций к отображениям. При работе с
отображениями вводятся топологии на области определения и множестве значений отображе-
ния, что позволяет говорить о близости точек пространства к
фиксированной точке и непре-
рывности отображения. Однако наличие топологии не позволяет ввести понятие равномерной
непрерывности. Здесь нужен переход к равномерным пространствам, что даёт возможность го-
ворить о близости
различных точек пространства. Топологии, равномерности не всегда удобно
ввести как нечто изначальное. Например, при работе с отображениями, заданными на множе-
ствах, несложно ввести предельный переход на классе множеств как нечто изначальное и по-
строить топологию на этой основе. Именно этим путём мы и пойдём, вводя предел сначала се-
квенциальный, на классе
последовательностей, а затем общий, на классе направленностей, и
построив соответствующие им топологии. Эти вопросы излагаются в §§1 - 2. В §3 рассматри-
ваются равномерные пространства, и вводится равномерная топология, определяемая исходной
равномерностью.
Пособие адресовано студентам старших курсов и может быть использовано при чтении
курса «Современный анализ» в магистратуре.
3
ВВЕДЕНИЕ
Основная операция классического математического анализа – операция предельного пе-
рехода в различных её вариантах (предел числовой последовательности, предел функции в точ-
ке или на бесконечности, предел функции в точке по всей области определения или её части и
др.). С предельным переходом связаны основные свойства функций. Идея предельного пере-
хода получила дальнейшее развитие при переходе от функций к отображениям. При работе с
отображениями вводятся топологии на области определения и множестве значений отображе-
ния, что позволяет говорить о близости точек пространства к фиксированной точке и непре-
рывности отображения. Однако наличие топологии не позволяет ввести понятие равномерной
непрерывности. Здесь нужен переход к равномерным пространствам, что даёт возможность го-
ворить о близости различных точек пространства. Топологии, равномерности не всегда удобно
ввести как нечто изначальное. Например, при работе с отображениями, заданными на множе-
ствах, несложно ввести предельный переход на классе множеств как нечто изначальное и по-
строить топологию на этой основе. Именно этим путём мы и пойдём, вводя предел сначала се-
квенциальный, на классе последовательностей, а затем общий, на классе направленностей, и
построив соответствующие им топологии. Эти вопросы излагаются в §§1 - 2. В §3 рассматри-
ваются равномерные пространства, и вводится равномерная топология, определяемая исходной
равномерностью.
Пособие адресовано студентам старших курсов и может быть использовано при чтении
курса «Современный анализ» в магистратуре.
3
