Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§1. СЕКВЕНЦИАЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ И СЕКВЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ
1. СЕКВЕНЦИАЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Пусть E - некоторое множество, Φ – класс всех последовательностей элементов множе-
ства E, f – некоторое соответствие между Φ и E. Если последовательности
сопоставлен
элемент при соответствии f, то запишем
(
n
x
)
a
(
)
fax
n
→ . При этом не предполагается, что каж-
дой последовательности сопоставлен некоторый элемент и не предполагается, что соответствие
однозначно. Через обозначим множество всех элементов, соответствующих последова-
тельности при соответствии f. Если последовательности
()
n
xf
(
n
x
)
(
)
n
x не сопоставлен ни один
элемент, то
. Соответствие f понимается как подмножество декартова произведения
()
∅=
n
xf
E
×
Φ
, т. е.
()
Exf
n
×⊆
Φ
. Ясно, что записи
(
)
fax
n
→ ,
(
)
n
xfa
∈
,
(
)
(
)
fa,x
n
∈ выражают од-
но и то же. Сопоставив каждой сходящейся числовой последовательности её предел, получим
пример такого соответствия.
Соответствия, рассматриваемые в дальнейшем, обычно будем обозначать символом
. При этом будем предполагать, что соответствие
()
lims
(
)
lims
удовлетворяет следующим ус-
ловиям, называемым условиями Фреше.
1. При соответствии
()
любой стационарной последовательности
()
lims
n
x
(для которой
, что
Ea ∈∃
axn
n
=
∀
)
(
)
(
)
limsax
n
→
2. Если при соответствии
(
)
lims
(
)
(
)
limsax
n
→ , то для любой подпоследователь-
ности
(
)
k
n
x
.
()()
limsax
k
n
→
Соответствие между классом Φ последовательностей элементов множества E и множе-
ством E, удовлетворяющее условиям Фреше, называется
секвенциальным пределом, а пара
()(
lims,E
)
секвенциальным пространством. Если
(
)
(
)
limsax
n
→ , то говорят, что последова-
тельность
(
n
x
)
секвенциально сходится к a.
(
)
n
xlims - множество всех элементов, к которым
последовательность
(
секвенциально сходится.
)
n
x
Задачи.
1. Пусть E=
ℝ
и Φ – класс всех числовых последовательностей. Каждой сходящейся в
обычном смысле последовательности сопоставим число, являющееся её пределом. Доказать,
что введённое соответствие – секвенциальный предел.
4
             §1. СЕКВЕНЦИАЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ И СЕКВЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ

     1. СЕКВЕНЦИАЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

         Пусть E - некоторое множество, Φ – класс всех последовательностей элементов множе-
ства E, f – некоторое соответствие между Φ и E. Если последовательности ( x n ) сопоставлен

элемент a при соответствии f, то запишем x n → a ( f ) . При этом не предполагается, что каж-

дой последовательности сопоставлен некоторый элемент и не предполагается, что соответствие
однозначно. Через f ( x n ) обозначим множество всех элементов, соответствующих последова-

тельности ( x n ) при соответствии f. Если последовательности                    (xn )     не сопоставлен ни один

элемент, то f ( x n ) = ∅ . Соответствие f понимается как подмножество декартова произведения

Φ × E , т. е. f ( x n ) ⊆ Φ × E . Ясно, что записи x n → a ( f ) , a ∈ f ( x n ) ,       (( xn ), a )∈ f   выражают од-

но и то же. Сопоставив каждой сходящейся числовой последовательности её предел, получим
пример такого соответствия.

         Соответствия, рассматриваемые в дальнейшем, обычно будем обозначать символом
(s ) lim .    При этом будем предполагать, что соответствие (s ) lim удовлетворяет следующим ус-
ловиям, называемым условиями Фреше.
               1. При соответствии (s ) lim любой стационарной последовательности ( x n )

                    (для которой ∃a ∈ E , что ∀n x n = a )         x n → a ((s ) lim )

               2. Если при соответствии (s ) lim           x n → a ((s ) lim ) , то для любой подпоследователь-

                          ( )
                    ности x nk    x nk → a ((s ) lim ) .


         Соответствие между классом Φ последовательностей элементов множества E и множе-
ством E, удовлетворяющее условиям Фреше, называется секвенциальным пределом, а пара
(E , (s ) lim )   секвенциальным пространством. Если x n → a ((s ) lim ) , то говорят, что последова-

тельность ( x n ) секвенциально сходится к a. (s ) lim x n - множество всех элементов, к которым

последовательность ( x n ) секвенциально сходится.


         Задачи.

             1. Пусть E=ℝ и Φ – класс всех числовых последовательностей. Каждой сходящейся в
обычном смысле последовательности сопоставим число, являющееся её пределом. Доказать,
что введённое соответствие – секвенциальный предел.


                                                                                                                      4

Страницы