Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 6 стр.

       11. Пусть E – некоторое множество и T - класс всех его подмножеств. Какие последо-
вательности сходятся относительно топологии T ? Сравнить пределы, определяемые тополо-
гиями, рассмотренными в задачах 10) и 11).
       12. Пусть E – бесконечное множество, K ⊆ E , K - конечно. Доказать, что класс всех
множеств вида E \ K вместе с ∅ - топология на E . Какие последовательности сходятся отно-
сительно этой топологии?
       13. Доказать, что любое соответствие между классом Φ последовательностей элементов
множества E и множеством E можно продолжить до соответствия, удовлетворяющего усло-
виям Фреше, причём существует минимальное продолжение.
       14. Продолжить соответствие примера 8б) до секвенциального предела.




     2. СЕКВЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ

       Пусть (E , (s ) lim ) - секвенциальное пространство, A ⊆ E , a ∈ E .
Введём следующие определения.
       Точка a называется (s)точкой прикосновения множества A , если существует такая по-
       следовательность ( x n ) , где x n ∈ A , n ∈ N , что x n → a ((s ) lim ) .

       Множество S ( A) всех (s ) точек прикосновения множества A называется (s)замыканием
       множества A .
       Заметим, что A ⊆ S ( A) .
       Множество A называется (s)замкнутым, если A = S ( A) .
       Множество A называется (s)открытым, если A′ = E \ A - (s)замкнуто.
       Пусть
S - класс всех (s)открытых множеств,
S ′ - класс всех (s)замкнутых множеств.

       Теорема 1. Класс S - топология на E .
       Доказательство. Докажем, что класс S ′ удовлетворяет следующим условиям:
1)    ∅, E ∈ S′ ;
2)    объединение конечного семейства множеств из S ′ входит в S ′ ;
3)    пересечение произвольного семейства множеств из S ′ входит в S ′ .
      Действительно, из определения (s)замкнутого множества следует, что ∅ , E ∈ S ′ . Пусть a -
      (s)точка прикосновения A1 ∪ A2 . Тогда существует такая последовательность ( x n ) , где


                                                                                              6