Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

n
x ↛ ,то существует такая окрестность
()(
limSa
)
SU
a
∈
точки , что для любого a Nk
∈
най-
дется такое
, что . Тогда существует такая подпоследовательность
kn ≥
an
Ux
k
∉
(
)
k
n
x последо-
вательности
, что для любого
()
n
x k
an
Ux
k
∉
. Следовательно, для любого Nk
∈
. Так как , т. е. - (s)открытое множество, то - (s)замкнуто. Так
как по условию
aan
UEUx
k
\=
′
∈ SU
a
∈
a
U
a
U
′
(
)
(
)
limsax
n
→ , то
(
)
(
)
limsax
k
n
→ . Следовательно, . Но , так как
- окрестность точки , и противоречие получено.*
a
Ua
′
∈
a
Ua ∈
a
U a
Согласованность секвенциальной топологии с секвенциальным пределом означает, что
.
() ( )
limSlims ⊆
Замечание. Возможно, что
()
(
)
limSlims
≠
. (См. з.2, п.2).
Согласованными с
могут оказаться различные топологии. Например, с любым
секвенциальным пределом согласована минимальная топология
()
lims
{
}
E,
∅
. Сопоставим секвенци-
альную топологию с такими топологиями.
Теорема 3. Секвенциальная топология - максимальная топология, согласованная с
.
S
()
lims
Доказательство. Пусть - некоторая топология, согласованная с
. Докажем, что
. Для этого докажем, что
T
()
lims
ST ⊆ ST
′
⊆
′
, где T
′
- класс всех замкнутых множеств относительно
топологии
T
( - класс всех (s)замкнутых множеств). S
′
Пусть
T
′
∈
. Докажем, что SA
′
∈
. Для этого нужно установить, что
(
)
ASA = . Пусть
- (s)точка прикосновения множества a
, т. е. существует такая последовательность
(
)
n
x , где
, , что . Так как топология согласована с
Ax
n
∈ Nn ∈
()(
limsax
n
→
)
T
(
)
lims
, то
. Так как
()(
limTax
n
→
)
T
′
∈
и
(
)
(
)
limTax
n
→ , то Aa
∈
. Таким образом, если - (s)точка
прикосновения множества
a
, то , что и означает, что Aa ∈
(
)
ASA
=
и .* SA
′
∈
Теорема 4. Если - однозначный секвенциальный предел и
()
lims
(
)()
limSax
n
→ , то
существует такая подпоследовательность
(
)
k
n
x , что
(
)
(
)
limsax
k
n
→ .
Доказательство. Пусть
(
)
(
)
limSax
n
→ .
Если при бесконечно многих значениях
n ax
n
=
, то рассматриваемая последователь-
ность имеет стационарную подпоследовательность,
(s)сходящуюся к . a
8
x n ↛ a ((S ) lim ) ,то существует такая окрестность U a ∈ S точки a , что для любого k ∈ N най-

                                                                                            ( )
дется такое n ≥ k , что x nk ∉ U a . Тогда существует такая подпоследовательность x nk последо-

вательности      (xn ) ,   что для любого k        x nk ∉ U a .   Следовательно, для любого k ∈ N

x nk ∈ U a′ = E \ U a . Так как U a ∈ S , т. е. U a - (s)открытое множество, то U a′ - (s)замкнуто. Так

как по условию xn → a ((s ) lim ) , то x nk → a ((s ) lim ) . Следовательно, a ∈ U a′ . Но a ∈ U a , так как

U a - окрестность точки a , и противоречие получено.*


         Согласованность секвенциальной топологии с секвенциальным пределом означает, что
(s ) lim ⊆ (S ) lim .
         Замечание. Возможно, что (s ) lim ≠ (S ) lim . (См. з.2, п.2).

         Согласованными с (s ) lim могут оказаться различные топологии. Например, с любым
секвенциальным пределом согласована минимальная топология {∅ , E } . Сопоставим секвенци-
альную топологию с такими топологиями.


         Теорема 3. Секвенциальная топология S - максимальная топология, согласованная с
(s ) lim .
         Доказательство. Пусть T - некоторая топология, согласованная с (s ) lim . Докажем, что
T ⊆ S . Для этого докажем, что T ′ ⊆ S ′ , где T ′ - класс всех замкнутых множеств относительно
топологии T ( S ′ - класс всех (s)замкнутых множеств).
         Пусть A ∈ T ′ . Докажем, что A ∈ S ′ . Для этого нужно установить, что A = S ( A) . Пусть
a - (s)точка прикосновения множества A , т. е. существует такая последовательность ( x n ) , где

x n ∈ A , n ∈ N , что x n → a ((s ) lim ) .    Так как топология T           согласована с     (s ) lim ,   то

x n → a ((T ) lim ) . Так как A ∈ T ′ и x n → a ((T ) lim ) , то a ∈ A . Таким образом, если a - (s)точка

прикосновения множества A , то a ∈ A , что и означает, что A = S ( A) и A ∈ S ′ .*


         Теорема 4. Если (s ) lim - однозначный секвенциальный предел и xn → a ((S ) lim ) , то

                                               ( )
существует такая подпоследовательность x nk , что x nk → a ((s ) lim ) .

         Доказательство. Пусть x n → a ((S ) lim ) .

         Если при бесконечно многих значениях n x n = a , то рассматриваемая последователь-

ность имеет стационарную подпоследовательность, (s)сходящуюся к a .


                                                                                                            8

Страницы