Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

3.
УРЫСОНОВСКИЙ ПРЕДЕЛ
Пусть
- секвенциальное пространство.
()(
lims,E
)
Секвенциальный предел
называется
()
lims урысоновским, если он обладает следующим
свойством. Для всякой последовательности
(
)
n
x , где Ex
n
∈
, Nn
∈
, если существует такой
элемент
, что для любой подпоследовательности a
(
)
k
n
x
существует её подпоследовательность
(
)
l
k
n
x , (s)сходящаяся к
a
, т. е.
(
)
(
)
limsax
l
k
n
→ , то
(
)
(
)
limsax
n
→ .
Несложно показать, что обычный предел на
ℝ является урысоновским. Действительно,
пусть числовая последовательность
(
)
n
x удовлетворяет условию Урысона, т. е. существует та-
кое a
∈ℝ,что для любой подпоследовательности
(
)
k
n
x существует её подпоследовательность
(
)
l
k
n
x такая, что , однако ↛
(
∞→→ lax
l
k
n
)
n
x
(
)
∞
→na . Последнее означает, что существует
такое
0〉
ε
, что для всякого найдётся такое, что k kn ≥
ε
≥− ax
n
. Тогда существует подпос-
ледовательность
(
)
k
n
x , для которой при любом k
ε
≥− ax
k
n
. Такая последовательность не
может содержать подпоследовательность, сходящуюся к
a .
Теорема 1. Если - однозначный урысоновский секвенциальный предел, то спра-
ведливо равенство
.
()
lims
() ( )
limSlims =
Доказательство. Пусть
(
)
(
)
limSax
n
→ . Пусть
(
)
k
n
x - произвольная подпоследователь-
ность последовательности
. Тогда
(
n
x
)
(
)
(
)
limSax
k
n
→
. По теореме 4, п.2 существует такая
последовательность
(
)
l
k
n
x , что
(
)
(
)
limsax
l
k
n
→ . Таким образом, по отношению к последова-
тельности
выполнено условие Урысона, а значит,
(
n
x
)
(
)
(
)
limsax
n
→ и . От-
сюда и из теоремы 2, п.2 следует доказываемое равенство.*
() ()
limslimS ⊆
Задачи.
1.
Доказать, что предел, определяемый произвольной топологией, урысоновский.
2.
Показать, что секвенциальный предел, рассмотренный в з.4, п.1, урысоновским не
является.
3.
Если урысоновский, но не однозначный, то равенство может
не выполняться. Привести пример.
()
lims
() ( )
limSlims =
10
         3. УРЫСОНОВСКИЙ ПРЕДЕЛ

           Пусть (E , (s ) lim ) - секвенциальное пространство.
           Секвенциальный предел (s ) lim называется урысоновским, если он обладает следующим
свойством. Для всякой последовательности ( x n ) , где x n ∈ E , n ∈ N , если существует такой

                                                                   ( )
элемент a , что для любой подпоследовательности x nk существует её подпоследовательность

(x ), (s)сходящаяся к a , т. е. x
  nk l                                nk l   → a ((s ) lim ) ,   то xn → a ((s ) lim ) .

           Несложно показать, что обычный предел на ℝ является урысоновским. Действительно,
пусть числовая последовательность ( x n ) удовлетворяет условию Урысона, т. е. существует та-

кое a∈ℝ,что для любой подпоследовательности x nk                 ( )     существует её подпоследовательность

(x ) такая, что
  nk l                x nk → a (l → ∞ ) , однако x n ↛ a (n → ∞ ) . Последнее означает, что существует
                        l




такое ε 〉 0 , что для всякого k найдётся n ≥ k такое, что x n − a ≥ ε . Тогда существует подпос-

                      ( )
ледовательность x nk , для которой при любом k                       x nk − a ≥ ε . Такая последовательность не

может содержать подпоследовательность, сходящуюся к a .


           Теорема 1. Если (s ) lim - однозначный урысоновский секвенциальный предел, то спра-
ведливо равенство (s ) lim = (S ) lim .
                                                                        ( )
           Доказательство. Пусть x n → a ((S ) lim ) . Пусть x nk - произвольная подпоследователь-

ность последовательности ( x n ) . Тогда x nk → a ((S ) lim ) . По теореме 4, п.2 существует такая

                            ( )
последовательность x nk , что x nk → a ((s ) lim ) . Таким образом, по отношению к последова-
                              l              l




тельности ( x n ) выполнено условие Урысона, а значит, xn → a ((s ) lim ) и (S ) lim ⊆ (s ) lim . От-
сюда и из теоремы 2, п.2 следует доказываемое равенство.*


           Задачи.
           1. Доказать, что предел, определяемый произвольной топологией, урысоновский.
           2. Показать, что секвенциальный предел, рассмотренный в з.4, п.1, урысоновским не
является.
           3. Если (s ) lim урысоновский, но не однозначный, то равенство (s ) lim = (S ) lim может
не выполняться. Привести пример.




                                                                                                            10

Страницы