Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Если для конечного множества значений
n ax
n
=
, то отсекая начало последовательно-
сти, можно получить подпоследовательность, все члены которой отличны от
. Предположим,
что такая операция произведена,
a
(
)
(
)
limSax
n
→ и для любого n ax
n
≠
.
Пусть
{
NnxA
n
}
∈
= /. Так как
(
)
(
)
limSax
n
→ и для любого , то n ax
n
≠
A
не является
замкнутым в топологии
, а следовательно, не является (s)замкнутым. Пусть - (s)точка при-
косновения множества
S b
A
, причём Ab
∉
. Тогда существует такая подпоследовательность
(
)
k
n
x , что . Пусть
()(
limsbx
k
n
→
)
{
}
{
}
bNkxB
k
n
∪
∈
=
/. Множество (s)замкнуто, так как
однозначен. Так как
B
()
lims
(
)()
limSax
n
→ , то
(
)
(
)
limSax
k
n
→
и, следовательно, Ba
∈
. Так
как для любого
, то . Таким образом,
k
ax
k
n
≠
ab =
(
)
(
)
limsax
k
n
→ .*
Задачи.
1.
Пусть - секвенциальное пространство, определённое в з.4, п.1, - сек-
венциальная топология. Какие множества входят в
?
()(
lims,E
)
S
S
2.
Пусть - секвенциальный предел, определяемый топологией , рассмотрен-
ной в предыдущей задаче. Доказать, что
()
limS S
(
)
(
)
limSlims
≠
.
3.
Пусть - обычный предел на множестве ℝ действительных чисел. Какова со-
ответствующая ему секвенциальная топология? Сравните её с обычной топологией на
ℝ.
()
lims
4.
Пусть - некоторая топология на T
. Можно ли утверждать, что множество
F
замкнуто тогда и только тогда, когда для любой последовательности
, где ,
()
n
x Fx
n
∈ Nn
∈
,
если
, то ?
()
Tax
n
→ Fa ∈
5.
Пусть и - секвенциальные пределы на множестве
()
1
lims
()
2
lims
и и - со-
ответствующие им секвенциальные топологии. Если
1
S
2
S
(
)
(
)
21
limslims ⊆ , то . Доказать.
12
SS ⊆
6.
Пусть и - некоторые топологии на множестве
1
T
2
T
E
и и - соответст-
вующие им пределы. Если
, то . Доказать.
1
lim
2
lim
21
TT ⊆
12
limlim ⊆
9
           Если для конечного множества значений n xn = a , то отсекая начало последовательно-

сти, можно получить подпоследовательность, все члены которой отличны от a . Предположим,
что такая операция произведена, x n → a ((S ) lim ) и для любого n x n ≠ a .

           Пусть A = {x n /n ∈ N }. Так как x n → a ((S ) lim ) и для любого n x n ≠ a , то A не является

замкнутым в топологии S , а следовательно, не является (s)замкнутым. Пусть b - (s)точка при-
косновения множества A , причём b ∉ A .             Тогда существует такая подпоследовательность
(x ), что
  nk                                          {          }
               x nk → b((s ) lim ) . Пусть B = x nk /k ∈ N ∪ {b}. Множество B (s)замкнуто, так как

(s ) lim   однозначен. Так как xn → a ((S ) lim ) , то x nk → a ((S ) lim ) и, следовательно, a ∈ B . Так

как для любого k x nk ≠ a , то b = a . Таким образом, x nk → a ((s ) lim ) .*


           Задачи.
           1. Пусть (E , (s ) lim ) - секвенциальное пространство, определённое в з.4, п.1, S - сек-
венциальная топология. Какие множества входят в S ?
           2. Пусть (S ) lim - секвенциальный предел, определяемый топологией S , рассмотрен-
ной в предыдущей задаче. Доказать, что (s ) lim ≠ (S ) lim .

           3. Пусть (s ) lim - обычный предел на множестве ℝ действительных чисел. Какова со-

ответствующая ему секвенциальная топология? Сравните её с обычной топологией на ℝ.
           4. Пусть T - некоторая топология на E . Можно ли утверждать, что множество F
замкнуто тогда и только тогда, когда для любой последовательности ( x n ) , где xn ∈ F , n ∈ N ,

если x n → a (T ) , то a ∈ F ?

           5. Пусть (s ) lim1 и (s ) lim 2 - секвенциальные пределы на множестве E и S1 и S 2 - со-
ответствующие им секвенциальные топологии. Если (s ) lim1 ⊆ (s ) lim 2 , то S 2 ⊆ S1 . Доказать.
           6. Пусть T1 и T2 - некоторые топологии на множестве E и lim1 и lim 2 - соответст-
вующие им пределы. Если T1 ⊆ T2 , то lim 2 ⊆ lim1 . Доказать.




                                                                                                       9

Страницы