Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

21
AAx
n
∪∈ , , что Nn ∈
(
)
(
)
limsax
n
→ . Пусть множество всех тех значений , при
которых
, а - множество всех тех значений , при которых . Ясно,
что
, т. е. хотя бы одно из этих множеств счётно. Поэтому существует такая
подпоследовательность
1
N
n
1
Ax
n
∈
2
N
n
2
Ax
n
∈
NNN =∪
21
(
)
k
n
x последовательности
(
)
n
x , что для любого
Nk ∈
1
Ax
k
n
∈
или для любого
Nk
∈
. Тогда точка будет (s)точкой прикосновения или
, а значит,
2
Ax
k
n
∈ a
1
A
2
A
1
Aa
∈
или
2
Aa
∈
, так как и (s)замкнуты. Следовательно,
. (s)замкнутость любого конечного объединения (s)замкнутых множеств дока-
зывается по индукции.
1
A
2
A
21
AAa ∪∈
Пусть
, SA
i
′
∈
Ii
∈
. Докажем, что . SA
Ii
i
′
∈
∈
∩
Пусть
-(s)точка прикосновения . Тогда существует такая последовательность
, где ,
a
∩
Ii
i
A
∈
(
n
x
)
∩
Ii
in
Ax
∈
∈ Nn
∈
, что
(
)
(
)
limsax
n
→ . Тогда для любого и для любого Nn ∈ Ii
∈
. Следовательно, -(s)точка прикосновения множества при любом . Так как
для любого
- (s)замкнуто, то
in
Ax ∈
a
i
A
Ii ∈
Ii ∈
i
A
i
Aa
∈
, Ii
∈
, и . *
∩
Ii
i
Aa
∈
∈
Топология
, введённая на S
E
, называется секвенциальной топологией.
Введём понятие топологии, согласованной с пределом. Пусть
- секвенциаль-
ное пространство и
- топологическое пространство.
()(
lims,E
)
)(
T,E
Говорят, что топология
T
согласована с
(
)
lims , если для любой последовательности
её (s)сходимость к элементу a влечёт её сходимость к относительно топологии T , т. е.
(
n
x
)
a
()() ()()
limTaxlimsax
nn
→⇒→ .
Это означает, что
() ( )
limTlims ⊆ .
(Если
, то
()()()
limsa,x
n
∈
()()
(
)
limTa,x
n
∈
).
Теорема 2. Секвенциальная топология согласована с S
(
)
lims .
Доказательство проведём от противного. Пусть некоторая секвенциальная топология не
согласована с
. Тогда существует такая последовательность
()
lims
(
)
n
x , что
(
)
(
)
limsax
n
→ , но
↛ , где
n
x
()(
limSa
)
(
)
limS
- предел, определяемый топологией . Поскольку
()
S
7
        x n ∈ A1 ∪ A2 , n ∈ N , что x n → a ((s ) lim ) . Пусть N 1 множество всех тех значений n , при

       которых x n ∈ A1 , а N 2 - множество всех тех значений n , при которых x n ∈ A2 . Ясно,

       что N 1 ∪ N 2 = N , т. е. хотя бы одно из этих множеств счётно. Поэтому существует такая
       подпоследовательность x nk          ( )    последовательности ( x n ) , что для любого k ∈ N            x nk ∈ A1

       или для любого k ∈ N xnk ∈ A2 . Тогда точка a будет (s)точкой прикосновения A1 или

        A2 , а значит, a ∈ A1 или a ∈ A2 , так как A1 и A2 (s)замкнуты.                                 Следовательно,
        a ∈ A1 ∪ A2 . (s)замкнутость любого конечного объединения (s)замкнутых множеств дока-
       зывается по индукции.
         Пусть Ai ∈ S ′ , i ∈ I . Докажем, что              ∩ A ∈ S′ .
                                                                   i
                                                            i∈I


         Пусть          a -(s)точка прикосновения           ∩A .   i   Тогда существует такая последовательность
                                                            i∈I


( x n ) , где   xn ∈ ∩ Ai , n ∈ N , что xn → a ((s ) lim ) . Тогда для любого n ∈ N и для любого i ∈ I
                    i∈I


x n ∈ Ai . Следовательно, a -(s)точка прикосновения множества Ai при любом i ∈ I . Так как

для любого i ∈ I Ai - (s)замкнуто, то a ∈ Ai , i ∈ I , и a ∈ ∩ Ai . *
                                                                            i∈I




         Топология S , введённая на E , называется секвенциальной топологией.


         Введём понятие топологии, согласованной с пределом. Пусть (E , (s ) lim ) - секвенциаль-
ное пространство и (E ,T ) - топологическое пространство.
         Говорят, что топология T согласована с (s ) lim , если для любой последовательности
( x n ) её (s)сходимость к элементу a             влечёт её сходимость к a относительно топологии T , т. е.

          x n → a ((s ) lim ) ⇒ x n → a ((T ) lim ) .
         Это означает, что
         (s ) lim ⊆ (T ) lim .
         (Если (( x n ), a ) ∈ (s ) lim , то (( x n ), a ) ∈ (T ) lim ).


         Теорема 2. Секвенциальная топология S согласована с (s ) lim .
         Доказательство проведём от противного. Пусть некоторая секвенциальная топология не
согласована с (s ) lim . Тогда существует такая последовательность ( x n ) , что x n → a ((s ) lim ) , но

x n ↛ a ((S ) lim ) ,     где   (S ) lim     -    предел,         определяемый    топологией   (S ) .       Поскольку

                                                                                                                      7

Страницы