Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

2. Пусть E=
ℝ
k
и Φ класс всех последовательностей точек пространства
ℝ
k
. Положим
, где
()
()(
limsax
n
→
)
() ()
(
)
(
)
n
k
nn
x,,xx …
1
=
,
(
)
k
a,,aa …
1
=
, если для любого ,
i
k,,i …1
=
,
. Доказать, что введённое соответствие - секвенциальный предел.
(
∞→→ nax
ii
)
)
3. Доказать, что предельные переходы в метрическом и нормированном пространствах
удовлетворяют условиям Фреше.
4. Пусть E – произвольное множество. Каждой стационарной последовательности
элементов множества E сопоставим элемент, её образующий. Является ли это соответствие
секвенциальным пределом?
5. Пусть
- топологическое пространство,
(
T,E
Nn,Ex
n
∈
∈
. Положим
, если для всякой окрестности точки существует такое N , что для любого
, если , то . Доказать, что соответствие
()(
limTax
n
→
)
a
U
a
n
N≥n
an
Ux ∈
(
)
limT
удовлетворяет условиям Фреше.
Всегда ли топологический предел однозначен?
()
limT
6. Если топология хаусдорфово отделима, то T
(
)
limT
однозначен. Доказать. Верно
ли обратное?
7. Пусть
- единичный отрезок,
[]
1;0=E
()
Nn
n
n
x
∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1
,
()
Nn
n
n
y
∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
1
1
. Введём соот-
ветствие
, положив ,
f
()
fx
n
0→
(
)
fy
n
1→ . Является ли соответствие секвенциальным
пределом?
f
8. Пусть
. Является ли секвенциальным пределом следующее соответствие
{
b,aE =
}
a)
; ;
}
b
a
,a,,a,a
→
→
…… b,b,,b,b →……
b)
; ; ?
}
b
a
,a,,a,a
→
→
……
}
b
a
,b,,b,b
→
→
……
}
b
a
,b,a,b,a,b,a
→
→
……
9.
Пусть E=
ℝ
и конечное или счётное подмножество множества E. Пусть классу T
принадлежат все множества вида
ℝ
\C, где - произвольное конечное или счётное множество,
а также
. Доказать, что
C
C
∅
T
- топология. Какие последовательности сходятся относительно
топологии
T
?
10.
Пусть E – бесконечное множество, - класс всех множеств вида , где - ко-
нечно или счётно,
. Какие последовательности сходятся относительно этой топологии?
Может ли эта топология быть хаусдорфово отделимой?
T CE\ C
T∈∅
5
        2. Пусть E=ℝk и Φ класс всех последовательностей точек пространства ℝk. Положим

x (n ) → a ((s ) lim ) , где            (           )
                               x (n ) = x1(n ) ,… , x k(n ) , a = (a1 ,… , a k ) , если для любого i , i = 1,… , k ,

x i → a i (n → ∞ ) . Доказать, что введённое соответствие - секвенциальный предел.

        3. Доказать, что предельные переходы в метрическом и нормированном пространствах
удовлетворяют условиям Фреше.
        4. Пусть E – произвольное множество.                      Каждой стационарной последовательности
элементов множества E сопоставим элемент, её образующий. Является ли это соответствие
секвенциальным пределом?
        5. Пусть         ( E ,T )   -       топологическое      пространство,      xn ∈ E , n ∈ N .            Положим

x n → a ((T ) lim ) , если для всякой окрестности U a точки a существует такое N , что для любого

n , если n ≥ N , то x n ∈ U a . Доказать, что соответствие (T ) lim удовлетворяет условиям Фреше.

Всегда ли топологический предел (T ) lim однозначен?

        6. Если топология T хаусдорфово отделима, то (T ) lim однозначен. Доказать. Верно
ли обратное?
                                                          ⎛1⎞            ⎛ 1⎞
        7. Пусть E = [0;1] - единичный отрезок, ( x n ) = ⎜ ⎟ , ( yn ) = ⎜1 − ⎟ . Введём соот-
                                                          ⎝ n ⎠ n∈N      ⎝ n ⎠ n∈N
ветствие f , положив x n → 0( f ) , yn → 1( f ) . Является ли соответствие f секвенциальным
пределом?
        8. Пусть E = {a , b} . Является ли секвенциальным пределом следующее соответствие



                                    →a
             a) a , a ,… , a ,… }      ;                b , b ,… , b ,… → b ;
                                    →b
                                    →a                              →a                                        →a
             b)     a , a ,… , a ,…}    ;           b , b ,… , b ,…}    ;       a , b , a , b … , a , b ,…}      ?
                                     →b                              →b                                       →b


        9. Пусть E=ℝ и C конечное или счётное подмножество множества E. Пусть классу T

принадлежат все множества вида ℝ\C, где C - произвольное конечное или счётное множество,
а также ∅ . Доказать, что T - топология. Какие последовательности сходятся относительно
топологии T ?
        10. Пусть E – бесконечное множество, T - класс всех множеств вида E\C , где C - ко-
нечно или счётно, ∅ ∈ T . Какие последовательности сходятся относительно этой топологии?
Может ли эта топология быть хаусдорфово отделимой?

                                                                                                                     5

Страницы