Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

4.
ПОРЯДКОВЫЙ СЕКВЕНЦИАЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ НА АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ
Пусть
E
- произвольное множество и P - класс всех подмножеств множества
E
. Класс
вместе с теоретико-множественными операциями объединения, пересечения и дополнения и
отношением включения является алгеброй множеств и обозначается символом
P
(
)
⊆
′
∩
∪ ,,,P .
Здесь символ
означает переход к дополнению, так
′
A\EA
=
′
- дополнение множества P
∈
A
.
Пусть
- некоторая последовательность множеств из класса . Введём определе-
ния верхнего и нижнего пределов последовательности
(
n
X
)
P
(
)
n
X , положив
∩∪
∞
=≥
=
1mmn
nn
XXlim ,
∪∩
∞
=≥
=
1mmn
nn
XXlim .
Замечание. Отметим, что
n
Xlima ∈ тогда и только тогда, когда для бесконечно
многих значений
;
n
Xa ∈
n
n
Xlima
∈
тогда и только тогда, когда
n
Xa
∈
для всех достаточно боль-
ших значений
. n
Лемма 1. Для любой последовательности
(
)
n
X
nn
XlimXlim ⊆ .
Доказательство. Следует из предыдущего замечания.*
Лемма 2. Для любой последовательности
(
)
n
X и для любой её подпоследовательности
(
)
к
n
X
nnnn
XlimXlimXlimXlim
kk
⊆⊆⊆ .
Доказательство. Действительно, если
n
Xlima
∈
, то
n
Xa
∈
для всех достаточно боль-
ших значений
. Тогда для всех достаточно больших значений . Следовательно, n
k
n
Xa ∈ k
k
n
Xlima ∈ и первое включение доказано. Второе включение следует из Леммы 1. Последнее
включение доказывается аналогично первому.*
Введём соответствие
между классом последовательностей , где
()
limos
(
n
X
)
P
∈
n
X ,
, и множеством , положив Nn ∈
P
(
)
limosAX
n
→ , если AXlimXlim
nn
== . (Здесь «о» от
английского слова order – порядок).
Теорема 1. Соответствие
()
является секвенциальным пределом. limos
11
   4. ПОРЯДКОВЫЙ СЕКВЕНЦИАЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ НА АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ

       Пусть E - произвольное множество и P - класс всех подмножеств множества E . Класс
P вместе с теоретико-множественными операциями объединения, пересечения и дополнения и
отношением включения является алгеброй множеств и обозначается символом P (∪ ,∩ ,′ , ⊆ ) .
Здесь символ ′ означает переход к дополнению, так A′ = E \ A - дополнение множества A ∈ P .
       Пусть ( X n ) - некоторая последовательность множеств из класса P . Введём определе-

ния верхнего и нижнего пределов последовательности ( X n ) , положив
                 ∞                                      ∞
       lim X n = ∩ ∪ X n ,                     lim X n = ∪ ∩ X n .
                m =1 n ≥ m                             m =1 n≥ m




       Замечание. Отметим, что a ∈ lim X n тогда и только тогда, когда a ∈ X n для бесконечно

многих значений n ; a ∈ lim X n тогда и только тогда, когда a ∈ X n для всех достаточно боль-

ших значений n .


       Лемма 1. Для любой последовательности ( X n )

                         lim X n ⊆ lim X n .
       Доказательство. Следует из предыдущего замечания.*


       Лемма 2. Для любой последовательности ( X n ) и для любой её подпоследовательности

(X )
  nк   lim X n ⊆ lim X nk ⊆ lim X nk ⊆ lim X n .

       Доказательство. Действительно, если a ∈ lim X n , то a ∈ X n для всех достаточно боль-

ших значений n . Тогда a ∈ X nk для всех достаточно больших значений k . Следовательно,

a ∈ lim X nk и первое включение доказано. Второе включение следует из Леммы 1. Последнее

включение доказывается аналогично первому.*


       Введём соответствие (os ) lim между классом последовательностей ( X n ) , где X n ∈ P ,

n ∈ N , и множеством P , положив X n → A(os ) lim , если lim X n = lim X n = A . (Здесь «о» от

английского слова order – порядок).


       Теорема 1. Соответствие (os ) lim является секвенциальным пределом.



                                                                                           11

Страницы