Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 3. Если и
()
limosAX
n
→
(
)
limosBY
n
→ , то
а)
;
()()
limosBAYX
nn
∪→∪
б)
;
()()
limosBAYX
nn
∩→∩
в)
.
()()
limosAX
n
′
→
′
Доказательство.
а)
Из леммы 4 и равенств AXlimXlim
nn
== и BYlimYlim
nn
== получаем
BAYlimXlimYXlimYXlimlimXlimBA
nnnnnnnn
∪=∪=∪⊆∪⊆∪=∪ Y .
Следовательно,
BAYXlimYXlim
nnnn
∪=∪=∪ и .
()()
limosBAYX
nn
∪→∪
в)
Так как , то
()()
limosAX
n
→ AXlimXlim
nn
== , т. е. .
Тогда
AXX
mmn
n
mmn
n
==
∞
=≥
∞
=≥
∪∩∩∪
11
′
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∞
=≥
∞
=≥
AXX
mmn
n
mmn
n
∪∩∩∪
11
.
Следовательно,
и
′
=
′
=
′
∞
=≥
∞
=≥
AXX
mmn
n
mmn
n
∩∪∪∩
11
()
limosAX
n
′
→
′
.
б)
Так как и
()()
limosAX
n
→
(
)
(
)
limosBY
n
→ , то и
. Следовательно,
()()
limosAX
n
′
→
′
()(
limosBY
n
′
→
′
) ()()
limosBAYX
nn
′
∪
′
→
′
∪
′
,
(
)
()()
limosBAYX
nn
′
′
∪
′
→
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
∪
′
и
(
)
(
)
limosBAYX
nn
∩
→
∩
.*
Задачи.
1.
Найти , если
()
n
Xlimos
а)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
nn
X
n
1
2
1
; ; ; Nn ∈
б)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
nn
X
n
1
2
1
;
;
; Nn ∈
в)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
nn
X
n
1
2
1
; ;
. Nn ∈
2.
Найти , если
()
n
Xlimos
а)
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
<+∈=
n
yx/Ry,xX
n
1
2
, Nn
∈
;
13
Теорема 3. Если X n → A(os ) lim и Yn → B (os ) lim , то

а)        X n ∪ Yn → A ∪ B ((os ) lim ) ;

б)        X n ∩ Yn → A ∩ B ((os ) lim ) ;
             ′
в)        X n → A′ ((os ) lim ) .
Доказательство.
а)        Из леммы 4 и равенств lim X n = lim X n = A и lim Yn = lim Yn = B получаем

A ∪ B = lim X n ∪ lim Yn ⊆ lim X n ∪ Yn ⊆ lim X n ∪ Yn = lim X n ∪ lim Yn = A ∪ B .

Следовательно, lim X n ∪ Yn = lim X n ∪ Yn = A ∪ B и X n ∪ Yn → A ∪ B ((os ) lim ) .
                                                                                                    ∞             ∞
в)        Так как X n → A((os ) lim ) , то lim X n = lim X n = A , т. е.                           ∩ ∪ Xn = ∪ ∩ Xn = A .
                                                                                                   m =1 n≥ m     m =1 n ≥ m

                              ′              ′
                 ⎛ ∞         ⎞ ⎛ ∞          ⎞
          Тогда ⎜⎜ ∩ ∪ X n ⎟⎟ = ⎜⎜ ∪ ∩ X n ⎟⎟ = A′ .
                 ⎝ m =1 n≥ m ⎠ ⎝ m =1 n≥ m ⎠
                           ∞                     ∞
                                           ′            ′          ′
Следовательно,            ∪∩X          n       = ∩ ∪ X n = A′ и X n → A′ (os ) lim .
                          m =1 n ≥ m            m =1 n ≥ m

                                                                                                           ′
б)        Так   как              X n → A((os ) lim )              и   Yn → B ((os ) lim ) ,   то        X n → A′ ((os ) lim )   и
            ′                                      ′    ′
          Yn → B′ ((os ) lim ) . Следовательно, X n ∪ Yn → A′ ∪ B′ ((os ) lim ) ,


 ⎝  n     n
              ⎠
               ′
                      (  ′
                                       )
⎛⎜ X ′ ∪ Y ′ ⎞⎟ → A′ ∪ B′ ((os ) lim ) и X ∩ Y → A ∩ B ((os ) lim ) .*
                                          n   n




Задачи.
1. Найти (os ) lim X n , если

                 ⎡1     1⎤
     а)     Xn = ⎢ ; 2 − ⎥ ; n∈ N ;
                 ⎣n     n⎦

                  ⎡ 1     1⎤
     б)     X n = ⎢− ; 2 + ⎥ ; n ∈ N ;
                  ⎣ n     n⎦

                 ⎡1     1⎤
     в)     Xn = ⎢ ; 2 + ⎥ ; n∈ N .
                 ⎣n     n⎦


2. Найти (os ) lim X n , если

                  ⎧                                          1⎫
     а)     X n = ⎨( x , y ) ∈ R 2 / x + y <                  ⎬ , n∈ N ;
                  ⎩                                          n⎭


                                                                                                                                13

Страницы