Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

б)
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥+∈=
n
yx/Ry,xX
n
1
2
, Nn
∈
;
в)
() ( )
{
}
1
2
2
2
≤+−∈= ynx/Ry,xX
n
, Nn
∈
.
3.
Найти
n
Xlim и
n
Xlim , если
(
)
[
)
∞+⋅−= ;nX
n
n
1 .
4.
Доказать, что монотонные последовательности порядково секвенциально сходятся, и
найти их пределы.
5.
Доказать, что для любых последовательностей
(
)
n
X и
(
)
n
Y
nnnnnnnn
YlimXlimYXlimYXlimlimXlim Y ∩⊆∩⊆∩=∩ .
6.
Пусть и
()
limosAX
n
→
(
)
limosBY
n
→ . Доказать, что
а)
;
()()
limosB\AY\X
nn
→
б)
.
()()
limosBAYX
nn
ДД →
7.
Доказать, что порядковый секвенциальный предел на алгебре множеств является
урысоновским.
5.
ПОРЯДКОВАЯ СЕКВЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Поскольку любой секвенциальный предел определяет секвенциальную топологию, то
можно рассматривать топологию, определяемую порядковым секвенциальным пределом
. Эта топология называется порядковой секвенциальной топологией и обозначается .
()
limos sV
Теорема 1. Порядковая секвенциальная топология на алгебре множеств хаусдорфово
отделима.
Доказательство. Пусть
E
- произвольное множество,
(
)
limos и - порядковый сек-
венциальный предел и порядковая секвенциальная топология на алгебре множеств
. Пусть ,
sV
()
⊆
′
∩∪
P
,,, P∈B,A B
A
≠ . Покажем, что
A
и можно отделить непересекаю-
щимися открытыми множествами.
B
Так как
B
A
≠ , то существует точка, входящая в одно из них и не входящая в другое.
Пусть
и . Рассмотрим множества Aa ∈ Ba ∉
{
}
Xa/X
∈
∈
P A
и
{}
Xa/Y
∉
∈=
P B
.
Отметим, что
, PBA =∪
∅
=∩BA , B A
∈
∈
B,A .
Докажем, что множества
и B (os)замкнуты. Пусть C - точка прикосновения множе-
ства
, т. е. существует такая последовательность
A
A
(
)
n
X , что , A∈
n
X Nn
∈
,
. Тогда для любого
()(
limosCX
n
→
)
n
Xa ∈ Nn
∈
и Ca
∈
. Следовательно, и - A∈C A
14
                          ⎧                         1⎫
               б)   X n = ⎨( x , y ) ∈ R 2 / x + y ≥ ⎬ , n ∈ N ;
                          ⎩                         n⎭

               в)   Xn =   {(x , y ) ∈ R   2             2
                                                                     }
                                               / (x − n) + y 2 ≤ 1 , n ∈ N .

         3. Найти lim X n и lim X n , если X n = (− 1) ⋅ n; + ∞ .[       n
                                                                               )
         4. Доказать, что монотонные последовательности порядково секвенциально сходятся, и
найти их пределы.
         5. Доказать, что для любых последовательностей ( X n ) и (Yn )

              lim X n ∩ lim Yn = lim X n ∩ Yn ⊆ lim X n ∩ Yn ⊆ lim X n ∩ lim Yn .

         6. Пусть X n → A (os ) lim и Yn → B (os ) lim . Доказать, что

               а)   X n \ Yn → A \ B ( (os ) lim ) ;

               б)   X n ДYn → AДB ( (os ) lim ) .
         7. Доказать, что порядковый секвенциальный предел на алгебре множеств является
урысоновским.



    5. ПОРЯДКОВАЯ СЕКВЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ

        Поскольку любой секвенциальный предел определяет секвенциальную топологию, то
можно рассматривать топологию, определяемую порядковым секвенциальным пределом
(os ) lim .   Эта топология называется порядковой секвенциальной топологией и обозначается Vs .


        Теорема 1. Порядковая секвенциальная топология на алгебре множеств хаусдорфово
отделима.
        Доказательство. Пусть E - произвольное множество, (os ) lim и Vs - порядковый сек-
венциальный предел и порядковая секвенциальная топология на алгебре множеств
P (∪ , ∩ ,′ , ⊆ ) . Пусть A , B ∈ P , A ≠ B . Покажем, что A и B можно отделить непересекаю-
щимися открытыми множествами.
        Так как A ≠ B , то существует точка, входящая в одно из них и не входящая в другое.
Пусть a ∈ A и a ∉ B . Рассмотрим множества A = { X ∈ P / a ∈ X } и B = { Y ∈ P / a ∉ X } .
Отметим, что A ∪ B = P , A ∩ B = ∅ , A ∈ A , B ∈ B .
        Докажем, что множества A и B (os)замкнуты. Пусть C - точка прикосновения множе-
ства    A , т.        е. существует              такая       последовательность    (X n ) ,   что   Xn ∈A ,   n∈ N ,

X n → C ( (os ) lim ) . Тогда a ∈ X n для любого n ∈ N и a ∈ C . Следовательно, C ∈ A и A -


                                                                                                                 14

Страницы