Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Отображение
называется f секвенциально непрерывным на некотором множестве, если
оно секвенциально непрерывно в каждой точке этого множества. Отображение
секвенциаль-
но непрерывно, если оно секвенциально непрерывно всюду на области определения.
f
Отображение называется f топологически непрерывным в точке относительно то-
пологий
и , если для любой окрестности точки
0
x
D
T
E
T
()
0
xf
U
(
)
0
xf существует такая окрест-
ность
точки , что для любого
0
x
V
0
x
x
, если
0
x
Vx
∈
, то
(
)
()
0
xf
Uxf
∈
.
Хорошо известно, что для функций действительной переменной секвенциальная непре-
рывность равносильна топологической.
Отметим некоторые свойства секвенциально непрерывных отображений.
Теорема 1. Если отображение секвенциально непрерывно, то прообраз любого секвен-
циально замкнутого множества секвенциально замкнут.
Доказательство. Пусть
- секвенциально непрерывное отображение, ED:f →
A
-
(s)замкнутое множество, , EA ⊆
(
)
Af
1−
- прообраз множества
A
. Докажем, что множество
- (s)замкнуто. Пусть - (s)точка прикосновения множества . Тогда найдётся
такая последовательность
, где
()
Af
1−
0
x
()
Af
1−
()
n
x
(
)
Afx
n
1−
∈ , Nn
∈
, что
(
)
(
)
Dn
limsxx
0
→ . Так как - се-
квенциально непрерывно на
, то
f
D
(
)
(
)
(
)
(
)
En
limsxfxf
0
→ . Здесь
(
)
Axf
n
∈ , . Следова-
тельно,
- (s)точка прикосновения множества
Nn ∈
()
0
xf
A
, а значит, , так как
()
Axf ∈
0
A
-
(s)замкнуто. Тогда и множество
()
Afx
1
0
−
∈
(
)
Af
1−
- (s)замкнуто.*
Теорема 2. Если отображение секвенциально непрерывно, то прообраз любого секвен-
циально открытого множества секвенциально открыт.
Доказательство. Следует из теоремы 1 переходом к дополнениям.*
Теорема 3. Если отображение секвенциально непрерывно, то оно непрерывно относи-
тельно секвенциальных топологий.
Доказательство. Пусть
,
()()
D
limsD
(
)
(
)
E
limsE - секвенциальные пространства, и ото-
бражение секвенциально непрерывно. Докажем, что отображение непрерывно
относительно секвенциальных топологий
и . Как известно, отображение топологиче-
ского пространства в топологическое пространство непрерывно тогда и только тогда, когда
прообраз любого замкнутого множества замкнут. Пусть множество
ED:f → f
D
S
E
S
f
A
замкнуто в топологии
16
        Отображение f называется секвенциально непрерывным на некотором множестве, если
оно секвенциально непрерывно в каждой точке этого множества. Отображение f секвенциаль-
но непрерывно, если оно секвенциально непрерывно всюду на области определения.


        Отображение f называется топологически непрерывным в точке x0 относительно то-

пологий TD и T E , если для любой окрестности U f ( x0 ) точки f ( x0 ) существует такая окрест-

ность V x0 точки x0 , что для любого x , если x ∈V x0 , то f ( x ) ∈ U f ( x0 ) .

        Хорошо известно, что для функций действительной переменной секвенциальная непре-
рывность равносильна топологической.
        Отметим некоторые свойства секвенциально непрерывных отображений.


        Теорема 1. Если отображение секвенциально непрерывно, то прообраз любого секвен-
циально замкнутого множества секвенциально замкнут.
        Доказательство.      Пусть f : D → E - секвенциально непрерывное отображение, A -

(s)замкнутое множество, A ⊆ E , f −1 ( A) - прообраз множества A . Докажем, что множество

f −1 ( A) - (s)замкнуто. Пусть x0 - (s)точка прикосновения множества f −1 ( A) . Тогда найдётся

такая последовательность ( xn ) , где x n ∈ f −1 ( A) , n ∈ N , что x n → x0 ((s ) lim D ) . Так как f - се-

квенциально непрерывно на D , то f ( x n ) → f ( x0 )((s ) lim E ) . Здесь f ( x n ) ∈ A , n ∈ N . Следова-

тельно, f ( x0 ) - (s)точка прикосновения множества A , а значит, f ( x0 ) ∈ A , так как A -

(s)замкнуто. Тогда x0 ∈ f −1 ( A) и множество f −1 ( A) - (s)замкнуто.*


        Теорема 2. Если отображение секвенциально непрерывно, то прообраз любого секвен-
циально открытого множества секвенциально открыт.
        Доказательство. Следует из теоремы 1 переходом к дополнениям.*


        Теорема 3. Если отображение секвенциально непрерывно, то оно непрерывно относи-
тельно секвенциальных топологий.
        Доказательство. Пусть (D(s ) lim D ) , (E (s ) lim E ) - секвенциальные пространства, и ото-
бражение f : D → E секвенциально непрерывно. Докажем, что отображение f непрерывно
относительно секвенциальных топологий S D и S E . Как известно, отображение f топологиче-
ского пространства в топологическое пространство непрерывно тогда и только тогда, когда
прообраз любого замкнутого множества замкнут. Пусть множество A замкнуто в топологии

                                                                                                         16

Страницы