Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

E
S . Тогда
A
(s)замкнуто (относительно
(
)
E
lims ). Тогда прообраз множества
()
Af
1−
A
(s)замкнут (относительно ), так как по условию отображение секвенциально непре-
рывно. Тогда множество
замкнуто в топологии . Следовательно, по критерию не-
прерывности отображение
непрерывно.*
()
D
lims f
()
Af
1−
D
S
f
Обратное предложение неверно. Приведём пример. Пусть
D
E
=
некоторые множества.
Определим предел
, полагая, что сходятся все стационарные и почти стационарные по-
следовательности к элементу, образующему такую последовательность, и только они. Поло-
жим, что в смысле предела
сходятся только стационарные последовательности. Тогда
секвенциальные топологии, соответствующие этим пределам, совпадают,
. Пусть
()
D
lims
()
E
lims
ED
SS =
ED: →
ϕ
- тождественное отображение. Как несложно проверить, отображение
ϕ
непрерыв-
но относительно топологий
и , но не является секвенциально непрерывным.
D
S
E
S
Выше изначальные предельные переходы были секвенциальными, топологии вводились
на их основе. Можно изначально заданными считать топологии на области определения и
множестве значений отображения, а предельные переходы определить на этой основе. Далее
можно говорить о топологической непрерывности отображения или секвенциальной его непре-
рывности.
Теорема 4. Пусть - отображение множества в множество
ED:f → D
E
, и -
топологии на
и
D
T
E
T
D
E
соответственно,
(
)
limT
D
и
(
)
limT
E
- соответствующие им пределы. Если
отображение
непрерывно относительно топологий и , то оно секвенциально непре-
рывно относительно предельных переходов
f
D
T
E
T
(
)
limT
D
и
(
)
limT
E
.
Доказательство. Пусть
(
)
(
)
limTxx
Dn 0
→ , где Dx
n
, . Докажем, что
. Пусть - некоторая окрестность точки . Тогда в силу не-
прерывности отображения
относительно топологий и найдётся такая окрестность
, что для любого
Nn ∈
() ()()(
limTxfxf
En 0
→
)
()
0
xf
U
()
0
xf
f
D
T
E
T
0
x
V
0
x
Vx
()
()
0
xf
Uxf
. Так как
(
)
(
)
limTxx
Dn 0
→ , то по окрестности
найдётся такое
, что для любого
0
x
V
N N≥n
(
)
()
0
xfn
Uxf
, что и означает секвенциальную не-
прерывность отображения
.* f
Обратное неверно. Приведём пример. Пусть
(
)
xD - функция Дирихле, т. е.
17
S E . Тогда A (s)замкнуто (относительно (s ) lim E ). Тогда прообраз f −1 ( A) множества A
(s)замкнут (относительно (s ) lim D ), так как по условию отображение f секвенциально непре-

рывно. Тогда множество f −1 ( A) замкнуто в топологии S D . Следовательно, по критерию не-
прерывности отображение f непрерывно.*




      Обратное предложение неверно. Приведём пример. Пусть E = D некоторые множества.
Определим предел (s ) lim D , полагая, что сходятся все стационарные и почти стационарные по-
следовательности к элементу, образующему такую последовательность, и только они. Поло-
жим, что в смысле предела (s ) lim E сходятся только стационарные последовательности. Тогда
секвенциальные топологии, соответствующие этим пределам, совпадают, S D = S E .                            Пусть
ϕ : D → E - тождественное отображение. Как несложно проверить, отображение ϕ непрерыв-
но относительно топологий S D и S E , но не является секвенциально непрерывным.


      Выше изначальные предельные переходы были секвенциальными, топологии вводились
на их основе. Можно изначально заданными считать топологии на области определения и
множестве значений отображения, а предельные переходы определить на этой основе. Далее
можно говорить о топологической непрерывности отображения или секвенциальной его непре-
рывности.


      Теорема 4. Пусть f : D → E - отображение множества D в множество E , TD и T E -
топологии на D и E соответственно, (TD ) lim и (TE ) lim - соответствующие им пределы. Если
отображение f непрерывно относительно топологий TD и T E , то оно секвенциально непре-
рывно относительно предельных переходов (TD ) lim и (TE ) lim .
      Доказательство.        Пусть      x n → x0 ((TD ) lim ) , где    xn ∈ D ,    n∈ N .       Докажем, что

f ( x n ) → f ( x0 )((TE ) lim ) . Пусть U f ( x0 ) - некоторая окрестность точки f ( x0 ) . Тогда в силу не-

прерывности отображения f относительно топологий TD и T E найдётся такая окрестность
V x0 , что для любого x ∈V x0        f ( x ) ∈ U f ( x0 ) . Так как x n → x0 ((TD ) lim ) , то по окрестности V x0

найдётся такое N , что для любого n ≥ N             f ( x n ) ∈ U f ( x0 ) , что и означает секвенциальную не-

прерывность отображения f .*
      Обратное неверно. Приведём пример. Пусть D ( x ) - функция Дирихле, т. е.


                                                                                                               17

Страницы