Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Множество вместе с направлением на нём, т. е. пара
(
)
≥,I , называется направленным
множеством. Если элементы связаны отношением , то говорят, что I∈j,i ji ≥ i следует за . j
Можно ввести двойственное отношение
≤
, полагая ij
≤
тогда и только тогда, когда
. Если , то говорят, что ji ≤ ij ≤ j предшествует . i
Примеры.
1.
Множество ℕ натуральных чисел с обычным отношением , т. е. пара (ℕ, ) - на-
правленное множество.
≥ ≥
2.
Множество ℝ действительных чисел с обычными отношениями и , т. е. пары
(
ℝ,⋝), (ℝ,⋜) – направленные множества.
≥ ≤
3.
Пусть ℝ, ∈a ∈
y
,
x ℝ. Положим
y
x
≤
, если
(
)
(
)
a,ya,x
ρ
ρ
≤
, где
()
(
)
a,y,a,x
ρ
ρ
- расстояния от точек
и x
y
до . Тогда (ℝ,⋜) – направленное множество. a
4.
Пусть - топологическое пространство,
(
T,E
)
Ex
∈
0
, - класс всех окрестностей
точки
, ⊆ - отношение включения. Тогда
U
0
x
(
)
⊆,U - направленное множество.
Направленностью называется любое отображение, определённое на направленном мно-
жестве.
Итак, пусть
- направленное множество,
(
≥,I
)
- некоторое множество и E:x →I
отобра-
жение
в
I
. Тогда это отображение является направленностью. Направленности обычно
будем обозначать символом
()
, где
I∈i
i
x
(
)
≥,I - направленное множество.
Примером направленности является последовательность
(
)
Nn
n
x
∈
. При выборе направле-
ния на
ℝ любая функция, определённая на ℝ, становится направленностью. Можно рассматри-
вать и часть
ℝ с указанием направления на
⊆
D
D
. Тогда произвольная функция, определён-
ная на
D
, - направленность.
2.
ПРЕДЕЛ НАПРАВЛЕННОСТИ В ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть
- топологическое пространство,
(
T,E
)
(
)
≥,I
- направленное множество,
(
)
I∈i
i
x ,
где
, , - направленность. Ex
i
∈ I∈i
19
       Множество вместе с направлением на нём, т. е. пара (I , ≥ ) , называется направленным
множеством. Если элементы i , j ∈I связаны отношением i ≥ j , то говорят, что i следует за j .


       Можно ввести двойственное отношение ≤ , полагая                 j ≤ i тогда и только тогда, когда
i ≤ j . Если j ≤ i , то говорят, что j предшествует i .


       Примеры.

       1. Множество ℕ натуральных чисел с обычным отношением ≥ , т. е. пара (ℕ, ≥ ) - на-
правленное множество.

       2. Множество ℝ действительных чисел с обычными отношениями ≥ и ≤ , т. е. пары

(ℝ,⋝), (ℝ,⋜) – направленные множества.

       3. Пусть a ∈ ℝ, x , y ∈ ℝ. Положим x ≤ y , если ρ ( x , a ) ≤ ρ ( y , a ) , где ρ ( x , a ), ρ ( y , a )

- расстояния от точек x и y до a . Тогда (ℝ,⋜) – направленное множество.

       4. Пусть (E ,T ) - топологическое пространство, x0 ∈ E , U - класс всех окрестностей

точки x0 , ⊆ - отношение включения. Тогда (U , ⊆ ) - направленное множество.


       Направленностью называется любое отображение, определённое на направленном мно-
жестве.
Итак, пусть (I , ≥ ) - направленное множество, E - некоторое множество и x : I → E отобра-
жение I в E . Тогда это отображение является направленностью. Направленности обычно
будем обозначать символом ( x i )i∈I , где (I , ≥ ) - направленное множество.

       Примером направленности является последовательность ( x n )n∈N . При выборе направле-

ния на ℝ любая функция, определённая на ℝ, становится направленностью. Можно рассматри-

вать и часть D ⊆ ℝ с указанием направления на D . Тогда произвольная функция, определён-

ная на D , - направленность.


    2. ПРЕДЕЛ НАПРАВЛЕННОСТИ В ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

       Пусть (E ,T ) - топологическое пространство, (I , ≥ ) - направленное множество, ( x i )i∈I ,

где x i ∈ E , i ∈I , - направленность.



                                                                                                            19

Страницы