Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Направленность
(
)
I∈i
i
x называется сходящейся к элементу Ea
∈
, если для любой окре-
стности
элемента найдётся такое
a
U a I
∈
0
i , что для любого . Соответствую-
щая запись следующая
.
0
ii ≥
ai
x U∈
()()
limTax
i
→
Предел
- класс всех элементов, к которым направленность сходится.
Таким образом, если
, то
()
i
xlimT
()
I∈i
i
x
()()
limTax
i
→
(
)
(
)
i
xlimTa
∈
. Верно и обратное.
Примеры.
1.
Пусть
()
Nn
Nn
n
n
x
∈
∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1
- данная последовательность, определённая на направленном
множестве (
ℕ,⋝), и (ℝ, ) – множество действительных чисел с обычной топологией на нём.
Тогда
.
T
()()
limTx
n
0→
2.
Пусть
()
xarctgxf
=
- данная функция со значениями в топологическом простран-
стве (
ℝ, ), где T - обычная топология на ℝ. Вводя различные направления на области опре-
деления
ℝ этой функции, получим следующее:
T
а)
Относительно направления на ℝ ≥
() ()()
limTxf
2
π
→ .
б)
Относительно направления
≤
на ℝ
() ()()
limTxf
2
π
−→ .
в)
Относительно направления на ℝ, определённого в примере 3, п. 1, где , 0=a
()
(
)
(
)
limTxf 0→ .
3.
Пусть - топологическое пространство,
(
T,E
)
Ea
∈
, - некоторая окрестность
точки
, - класс всех окрестностей точки . Множество вместе с отношением
включения , т. е.
, - направленное множество. Введём отображение
a
U
a
{
a
U U=
}
)
a U
⊆
(
⊆,U
EU: →
ϕ
, поста-
вив в соответствие каждой окрестности
некоторую точку
a
U
a
x U
∈
. Поскольку
(
)
⊆,U - на-
правленное множество, то отображение
(
)
(
)
U
a
a
∈U
U
ϕ
- направленность. Установим, что
() ()(
limTa
a
→U
)
ϕ
. Действительно, для любой окрестности найдётся такой индекс из мно-
жества
, можно взять , что для любого индекса
a
U
U U
a
∈U U
a
∈
V , для которого ,
aa
UV ⊆
()
aa
UV ∈
ϕ
. Последнее следует из определения
ϕ
, поскольку
(
)
aaa
x UVV ⊆∈
ϕ
.
20
       Направленность ( x i )i∈I называется сходящейся к элементу a ∈ E , если для любой окре-

стности U a элемента a найдётся такое i0 ∈I , что для любого i ≥ i0              x i ∈ U a . Соответствую-

щая запись следующая x i → a ((T ) lim ) .

       Предел (T ) lim x i - класс всех элементов, к которым направленность ( x i )i∈I сходится.

Таким образом, если x i → a ((T ) lim ) , то a ∈ ((T ) lim x i ) . Верно и обратное.


       Примеры.
                              ⎛1⎞
        1. Пусть ( x n )n∈N = ⎜ ⎟       - данная последовательность, определённая на направленном
                              ⎝ n ⎠ n∈N

множестве (ℕ,⋝), и (ℝ, T ) – множество действительных чисел с обычной топологией на нём.
Тогда x n → 0((T ) lim ) .

        2. Пусть f ( x ) = arctg x - данная функция со значениями в топологическом простран-

стве (ℝ, T ), где T - обычная топология на ℝ. Вводя различные направления на области опре-

деления ℝ этой функции, получим следующее:

        а) Относительно направления ≥ на ℝ
                           π
                f (x ) →       ((T ) lim ) .
                           2

        б) Относительно направления ≤ на ℝ
                               π
                f (x ) → −         ((T ) lim ) .
                               2

        в) Относительно направления на ℝ, определённого в примере 3, п. 1, где a = 0 ,

                f ( x ) → 0((T ) lim ) .
        3. Пусть (E ,T ) - топологическое пространство, a ∈ E , U a - некоторая окрестность

точки a , U = {U a } - класс всех окрестностей точки a . Множество U вместе с отношением

включения ⊆ , т. е. (U , ⊆ ) , - направленное множество. Введём отображение ϕ : U → E , поста-
вив в соответствие каждой окрестности U a некоторую точку x ∈ U a . Поскольку (U , ⊆ ) - на-

правленное множество, то отображение               (ϕ (U a ))U ∈U
                                                             a
                                                                    - направленность.   Установим, что

ϕ (U a ) → a ((T ) lim ) . Действительно, для любой окрестности U a найдётся такой индекс из мно-
жества U , можно взять U a ∈ U , что для любого индекса Va ∈ U , для которого Va ⊆ U a ,

ϕ (Va ) ∈ U a . Последнее следует из определения ϕ , поскольку ϕ (Va ) = x ∈Va ⊆ U a .

                                                                                                       20

Страницы