Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим определение точки прикосновения множества. Пусть
- топологиче-
ское пространство, . Как известно, точка
(
T,E
)
EA ⊆
Ea
∈
называется точкой прикосновения мно-
жества
A
, если для любой окрестности точки найдётся точка
a
U a
a
Ax U∩
∈
.
Теорема 1. Точка является точкой прикосновения множества a
A
тогда и только тогда,
когда существует такая направленность
(
)
I∈i
i
x , где Ax
i
∈
,
I
∈
i
, что .
()()
limTax
i
→
Доказательство. Если
- точка прикосновения множества a
A
, то, сопоставляя каждой
окрестности точку , получим направленность, сходящуюся к (см. пример 4
п.1). Обратное очевидно.*
a
U
a
Ax U∩∈ a
Рассмотрим определение непрерывного отображения.
Пусть
и - топологические пространства, отображение в
()
D
T,D
(
E
T,E
)
ED:f → D
E
,
. Как известно, отображение называется непрерывным в точке , если для любой
окрестности
точки найдётся такая окрестность , что любой точки
Dx ∈
0
f
0
x
()
0
xf
U
(
0
xf
)
0
x
V
0
x
x V
∈
.
()
()
0
0 xf
xf U∈
Теорема 2. Отображение непрерывно в точке тогда и только тогда, когда
для любой направленности
()
, где
ED:f →
0
x
I∈i
i
x Dx
i
∈
, I
∈
i , если , то
.
()()
limTxx
Di 0
→
() ()( )()
limTxfxf
Ei 0
→
Доказательство. Пусть отображение
непрерывно в точке и пусть
()
некоторая
направленность, сходящаяся к точке
, т. е.
f
0
x
I∈i
i
x
0
x
(
)
(
)
limTxx
Di 0
→ . Докажем, что
. Действительно, пусть - некоторая окрестность точки
() ()( )(
limTxfxf
Ei 0
→
)
()
0
xf
U
(
)
0
xf .
Тогда в силу непрерывности отображения в точке
найдётся такая окрестность точки
, что для любой точки
f
0
x
0
x
V
0
x
0
x
x V∈
(
)
()
0
0 xf
xf U
∈
. Поскольку
()
(
)
limTxx
Di 0
→ , то по окрестно-
сти
найдётся такой индекс , что для любого
0
x
V I∈
0
i
0
ii ≥
0
xi
x V
∈
. В целом для произволь-
ной окрестности
найдётся такой индекс
()
0
xf
U I
∈
0
i , что для любого , что и
означает, что
0
ii ≥
()
()
0
0 xf
xf U∈
()
(
)( )()
limTxfxf
Ei 0
→ .
Обратное докажем от противного. Пусть отображение не является непрерывным в
точке
. Тогда существует такая окрестность точки
f
0
x
()
0
xf
U
(
)
0
xf , что для любой окрестности
точки найдётся такое , что
0
x
V
0
x
0
x
x V∈
(
)
()
0
0 xf
xf U
∉
. Пусть - класс всех окрестностей U
21
           Рассмотрим определение точки прикосновения множества. Пусть (E ,T ) - топологиче-
ское пространство, A ⊆ E . Как известно, точка a ∈ E называется точкой прикосновения мно-
жества A , если для любой окрестности U a точки a найдётся точка x ∈ A ∩ U a .


           Теорема 1. Точка a является точкой прикосновения множества A тогда и только тогда,
когда существует такая направленность ( x i )i∈I , где xi ∈ A , i ∈I , что x i → a ((T ) lim ) .

           Доказательство. Если a - точка прикосновения множества A , то, сопоставляя каждой
окрестности U a точку x ∈ A ∩ U a , получим направленность, сходящуюся к a (см. пример 4
п.1). Обратное очевидно.*


           Рассмотрим определение непрерывного отображения.
Пусть (D ,TD ) и (E ,TE ) - топологические пространства, f : D → E отображение D в E ,
x0 ∈ D . Как известно, отображение f называется непрерывным в точке x0 , если для любой

окрестности U f ( x0 ) точки f ( x0 ) найдётся такая окрестность Vx0 , что любой точки x ∈Vx0

 f ( x0 ) ∈ U f ( x0 ) .


           Теорема 2. Отображение f : D → E непрерывно в точке x0 тогда и только тогда, когда

для любой направленности                     ( xi )i∈I ,   где     x i ∈ D , i ∈I , если           x i → x0 ((TD ) lim ) , то

 f ( x i ) → f ( x0 )((TE ) lim ) .

           Доказательство. Пусть отображение f непрерывно в точке x0 и пусть ( x i )i∈I некоторая

направленность,            сходящаяся    к      точке       x0 ,    т.   е.   x i → x0 ((TD ) lim ) .     Докажем,      что

 f ( x i ) → f ( x0 )((TE ) lim ) . Действительно, пусть U f ( x0 ) - некоторая окрестность точки f ( x0 ) .

Тогда в силу непрерывности отображения f в точке x0 найдётся такая окрестность Vx0 точки

x0 , что для любой точки x ∈Vx0                f ( x0 ) ∈ U f ( x0 ) . Поскольку xi → x0 ((TD ) lim ) , то по окрестно-

сти Vx0 найдётся такой индекс i0 ∈I , что для любого i ≥ i0 x i ∈Vx0 . В целом для произволь-

ной окрестности U f ( x0 ) найдётся такой индекс i0 ∈I , что для любого i ≥ i0 f ( x0 ) ∈ U f ( x0 ) , что и

означает, что f ( x i ) → f ( x0 )((TE ) lim ) .

           Обратное докажем от противного. Пусть отображение f не является непрерывным в
точке x0 . Тогда существует такая окрестность U f ( x0 ) точки f ( x0 ) , что для любой окрестности

Vx0 точки x0 найдётся такое x ∈Vx0 , что f ( x0 ) ∉ U f ( x0 ) . Пусть U - класс всех окрестностей


                                                                                                                          21

Страницы