Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 23 стр.

что для любого n0 ∈ ℕ найдётся такое k0 ∈ ℕ, что для любого k ≥ k0                                 nk ≥ n0 , т. е.

nk → ∞ (k → ∞ ) .


       Приведём пример и контрпример.

       Возьмём направленные множества (ℝ, ≥ ) и (ℕ, ≥ ) и направленность m : ℕ→ℝ, где

m (n ) = n , n ∈ ℕ. Ясно, что эта направленность является допустимой. Если же рассмотреть на-

                                            1
правленность p : ℕ→ℝ, где p(n ) = 1−          , n ∈ ℕ, то такая направленность допустимой не будет.
                                            n


       Введём определение поднаправленности.
       Пусть ( x i )i∈I - некоторая направленность, определённая на (I , ≥ ) , и ( J , ≥ ) некоторое

направленное множество. Направленность                  (y )
                                                           j j∈ J   называется поднаправленностью направ-

ленности      ( xi )i∈I , если существует такая направленность i : J       → I , что

           1. для любого j ∈ J      y j = x i ( j ) , т. е. y = x i ;

           2. направленность i : J → I допустима.


       Заметим, что для произвольной последовательности ( x n )n∈N любая её подпоследова-

              ( )
тельность x nk является поднаправленностью, поскольку nk → +∞ (k → +∞ ) . Однако для по-

следовательности определения подпоследовательности и поднаправленности не эквивалентны.
Приведём примеры.
       Рассмотрим обычную последовательность натуральных чисел                          ( 1 , 2 , 3 ,… , n ,…) и по-
следовательности ( 1 , 1 , 2 , 2 ,… , n , n ,… ) и     ( 2 , 1 , 4 , 3 ,… , 2n , 2n − 1…) , которые не являются
её подпоследовательностями при обычном определении подпоследовательности, поскольку
обычно предполагается, что последовательность номеров (nk ) возрастает. Заметим, что на-
правленности
                      ⎡ k − 1⎤
p : ℕ→ ℕ, где p(k ) = ⎢        + 1 , k ∈ ℕ, и q : ℕ→ ℕ, где q(k ) = k + (− 1) , k ∈ ℕ, допустимы,
                                                                             k +1
                             ⎥
                      ⎣ 2 ⎦

поскольку и p (k ) → +∞ (k → +∞ ) и q (k ) → +∞ (k → +∞ ) . Поэтому для направленности

m : ℕ→ ℕ, где m (n ) = n , n ∈ ℕ, каждая из композиций m p и m q - поднаправленности,

т.    е.      рассмотренные       выше        последовательности       ( 1 , 1 , 2 , 2 ,… , n , n ,… )            и
( 2 , 1 , 4 , 3 ,… , 2n , 2n − 1…) - поднаправленности исходной направленности (1,2 ,3,… , n ,…) .
                                                                                                                 23