Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 24 стр.

      Более того, пусть ϕ : ℝ+→ ℕ, где ϕ ( x ) = [ x ] + 1 , x ∈ ℝ+ = { x ∈ ℝ / x ≥ 0} , и

m : ℕ→ ℕ, где m (n ) = n , n ∈ ℕ. Тогда их композиция p = m ϕ : ℝ+→ ℕ - поднаправлен-

ность направленности m : ℕ→ ℕ, поскольку направленность ϕ - допустима. Взяв допусти-

мую направленность ψ : ℝ+→ ℕ, где ψ ( x ) = 2[ x ] + 1 , x ∈ ℝ+, получим поднаправленность

q = m ψ : ℝ+→ ℕ.

      Как показывают эти примеры, области определения основной направленности и её под-
направленности могут быть существенно разными.


      Основной способ выделения поднаправленностей – переход к конфинальной части об-
ласти определения основной направленности. Пусть (I , ≥ ) - направленное множество, J ⊆ I .

Говорят, что множество J конфинально I , если для любого i ∈I найдётся j ∈ J , что j ≥ i .

Здесь сохраняется идея пронизывания множества, как угодно далеко во множестве I найдётся
элемент, принадлежащий J .


      Приведём пример конфинального множества и контрпример.
      Рассмотрим направленные множества (ℝ,⋝), (ℕ,⋝) и (E , ≥ ) , где E = [0 ;1] . Тогда ℕ кон-

финально ℝ, а E не конфинально ℝ.


      Если J конфинально I , тождественное отображение ϕ : J → I , где ϕ ( j ) = j , j ∈ J ,

является допустимым, а, следовательно, для произвольной направленности x : I → E компо-
зиция x ϕ будет её поднаправленностью. Таким образом, любое сужение основной направ-
ленности x : I → E на произвольную конфинальную часть J ⊆ I можно рассматривать как
поднаправленность исходной направленности. Такое сужение на правильную часть множества

ℕ не является подпоследовательностью в обычном понимании, поскольку по определению по-
следовательность определена на множестве всех натуральных чисел.
      Можно ввести определение частичного предела направленности как элемента, к которо-
му сходится некоторая направленность.
      Возникает вопрос, как связано множество всех частичных пределов и множество эле-
ментов, к которым сходятся поднаправленности, являющиеся сужениями на конфинальные
множества? Равны ли эти множества?



                                                                                             24