Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Задачи.
1.
Доказать, что любая поднаправленность сходящейся направленности сходится к то-
му же элементу.
2.
Для направленных множеств (ℝ, ), (ℝ, ≥
≤
) указать счётные конфинальные им под-
множества.
3.
Пусть - направленное множество и конфинально I . Доказать, что
(
≥,I
)
J
(
)
≥,J
- направленное множество.
4.
Для направленности
()
xsinxf
=
, определённой на (ℝ, ), указать сходящиеся под-
направленности.
≥
5.
Можно ли утверждать, что произвольное направленное множество имеет счётное
конфинальное ему подмножество?
6.
Можно ли утверждать, что произвольная направленность имеет счётную поднаправ-
ленность?
7.
Если направленное множество
(
)
≥,I разбивается на такие части и , что
, то хотя бы одно из множеств и конфинально I . Доказать.
1
I
2
I
21
III ∪=
1
I
2
I
8.
Пусть
(
- направленное множество, конфинально
I
и конфинально .
Доказать, что
K конфинально I .
)
≥,I J K J
4.
ПРЕДЕЛ НА КЛАССЕ НАПРАВЛЕННОСТЕЙ
Предел на классе направленностей можно ввести подобно тому, как был введён секвен-
циальный предел – предел на классе последовательностей.
Пусть
E
- некоторое множество,
(
)
I∈i
i
x - направленность со значениями в множестве
E
,
Φ
- класс всех направленностей со значениями в
E
,
(
)
limn соответствие между классом
направленностей
Φ
и
E
. То, что направленности
(
)
I∈i
i
x соответствует элемент при со-
ответствии
, обозначим так:
Ea ∈
()
limn
(
)
(
)
limnax
i
→ . (здесь «n» от английского термина net, ко-
торому соответствует русский термин направленность.)
Говорят, что соответствие
удовлетворяет условиям Фреше, если
()
limn
25
       Задачи.
       1. Доказать, что любая поднаправленность сходящейся направленности сходится к то-
му же элементу.

       2. Для направленных множеств (ℝ, ≥ ), (ℝ, ≤ ) указать счётные конфинальные им под-
множества.
       3. Пусть (I , ≥ ) - направленное множество и J конфинально I . Доказать, что ( J , ≥ )
- направленное множество.
       4. Для направленности f ( x ) = sin x , определённой на (ℝ, ≥ ), указать сходящиеся под-

направленности.
       5. Можно ли утверждать, что произвольное направленное множество имеет счётное
конфинальное ему подмножество?
       6. Можно ли утверждать, что произвольная направленность имеет счётную поднаправ-
ленность?
       7. Если направленное множество (I , ≥ ) разбивается на такие части I1 и I 2 , что
I = I1 ∪I 2 , то хотя бы одно из множеств I1 и I 2 конфинально I . Доказать.
       8. Пусть (I , ≥ ) - направленное множество, J конфинально I и K конфинально J .

Доказать, что K конфинально I .




    4. ПРЕДЕЛ НА КЛАССЕ НАПРАВЛЕННОСТЕЙ

       Предел на классе направленностей можно ввести подобно тому, как был введён секвен-
циальный предел – предел на классе последовательностей.


       Пусть E - некоторое множество, ( x i )i∈I - направленность со значениями в множестве

E , Φ - класс всех направленностей со значениями в E , (n ) lim соответствие между классом
направленностей Φ и E . То, что направленности ( x i )i∈I соответствует элемент a ∈ E при со-

ответствии (n ) lim , обозначим так: x i → a ((n ) lim ) . (здесь «n» от английского термина net, ко-
торому соответствует русский термин направленность.)


       Говорят, что соответствие (n ) lim удовлетворяет условиям Фреше, если

                                                                                                  25

Страницы