Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Множество
всех (n)точек прикосновения множества
()
An
A
называется (n)замыканием
множества
A
. Отметим, что всегда
(
)
AnA ⊆ .
Множество
A
называется (n)замкнутым, если
(
)
AnA
=
.
Множество
A
называется (n)открытым, если A\EA
=
′
- (n)замкнуто.
Пусть
- класс всех (n)открытых множеств. N
Теорема 1. Класс N - топология на
E
.
Доказательство. Пусть
- класс всех (n)замкнутых множеств. Тогда очевидно, что
.
N
′
N
′
∈∅ E,
Пусть множества
и (n)замкнуты. Докажем, что (n)замкнуто. Пусть -
(
n)точка прикосновения множества . Тогда существует такая направленность
1
A
2
A
21
AA ∪ a
21
AA ∪
(
)
I∈i
i
x ,
где
, , что . Пусть - множество всех тех значений , для ко-
торых
, - множество всех тех значений , для которых
21
AAx
i
∪∈
I∈i
()(
limnax
i
→
)
1
I
i
1
Ax
i
∈
2
I
i
2
Ax
i
∈
. Тогда III
=
∪
21
, а
значит,
или конфинально I . Действительно, если не конфинально I , то существует
такое
, что для любого ≱ , и аналогично, если не конфинально I , то сущест-
вует такое
, что для любого
1
I
2
I
1
I
I∈
1
i
1
I∈i
i
1
i
2
I
I∈
2
i
2
I
∈
i ≱ . Так как - направленное множество и
, то существует такое , что и . Так как , то
i
2
i I
I∈
21
i,i I∈
0
i
10
ii ≥
20
ii ≥ III =∪
21 10
I
∈
i или
, а это противоречит предыдущему. Тогда сужение направленности на конфи-
нальную часть множества
I будет поднаправленностью этой направленности. В силу второго
условия Фреше эта поднаправленность (
n)сходится к . Следовательно, точка - (n)точка
прикосновения множества
или . Значит,
20
I∈i
()
I∈i
i
x
a a
1
A
2
A
1
Aa
∈
или
2
Aa
∈
, так как каждое из этих мно-
жеств (
n)замкнуто. Следовательно,
21
AAa ∪
∈
. Отсюда следует (n)замкнутость любого ко-
нечного объединения (
n)замкнутых множеств.
Пусть
- семейство (n)замкнутых множеств. Докажем, что (n)замкнуто.
Пусть точка
- (n)точка прикосновения множества . Тогда существует такая направ-
ленность
, что для любого и
()
K∈k
k
A
∩
K∈k
k
A
a
∩
K∈k
k
A
()
I∈i
i
x I∈i
∩
K∈
∈
k
ki
Ax
(
)
(
)
limnax
i
→ . Отсюда следует, что для
любого
, так как (n)замкнуто, и, следовательно, .* K∈k
k
Aa ∈
k
A
∩
K∈
∈
k
k
Aa
27
       Множество n( A) всех (n)точек прикосновения множества A называется (n)замыканием
множества A . Отметим, что всегда A ⊆ n( A) .


       Множество A называется (n)замкнутым, если A = n( A) .
       Множество A называется (n)открытым, если A′ = E \ A - (n)замкнуто.


       Пусть N - класс всех (n)открытых множеств.
       Теорема 1. Класс N - топология на E .
       Доказательство. Пусть N ′ - класс всех (n)замкнутых множеств. Тогда очевидно, что
∅, E ∈N ′ .
       Пусть множества A1 и A2 (n)замкнуты. Докажем, что A1 ∪ A2 (n)замкнуто. Пусть a -
(n)точка прикосновения множества A1 ∪ A2 . Тогда существует такая направленность ( x i )i∈I ,

где x i ∈ A1 ∪ A2 , i ∈I , что x i → a ((n ) lim ) . Пусть I1 - множество всех тех значений i , для ко-

торых x i ∈ A1 , I 2 - множество всех тех значений i , для которых x i ∈ A2 . Тогда I1 ∪I 2 = I , а

значит, I1 или I 2 конфинально I . Действительно, если I1 не конфинально I , то существует

такое i1 ∈I , что для любого i ∈I1 i ≱ i1 , и аналогично, если I 2 не конфинально I , то сущест-

вует такое i2 ∈I , что для любого i ∈I 2 i ≱ i2 .            Так как I - направленное множество и

i1 , i2 ∈I , то существует такое i0 ∈I , что i0 ≥ i1 и i0 ≥ i2 . Так как I1 ∪ I 2 = I , то i0 ∈I1 или

i0 ∈I 2 , а это противоречит предыдущему. Тогда сужение направленности ( x i )i∈I на конфи-

нальную часть множества I будет поднаправленностью этой направленности. В силу второго
условия Фреше эта поднаправленность (n)сходится к a . Следовательно, точка a - (n)точка
прикосновения множества A1 или A2 . Значит, a ∈ A1 или a ∈ A2 , так как каждое из этих мно-
жеств (n)замкнуто. Следовательно, a ∈ A1 ∪ A2 . Отсюда следует (n)замкнутость любого ко-
нечного объединения (n)замкнутых множеств.
       Пусть ( Ak )k∈K - семейство (n)замкнутых множеств. Докажем, что                 ∩A    k   (n)замкнуто.
                                                                                       k∈K


Пусть точка a - (n)точка прикосновения множества                ∩A
                                                               k∈K
                                                                     k   . Тогда существует такая направ-

ленность ( x i )i∈I , что для любого i ∈I   xi ∈   ∩A    k   и xi → a ((n ) lim ) . Отсюда следует, что для
                                                   k∈K


любого k ∈ K a ∈ Ak , так как Ak (n)замкнуто, и, следовательно, a ∈ ∩ Ak .*
                                                                                k∈K




                                                                                                          27

Страницы