Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Пусть
E
- некоторое множество, - класс всех его подмножеств, - некоторая
направленность со значениями в
P ,
P
()
I∈i
i
X
(
)
≥,I - направленное множество.
Введём определения верхнего и нижнего пределов направленности, полагая
∩∪
I
∈≥
=
jji
ii
XXlim ,
∪∩
I
∈≥
=
jji
ii
XXlim .
Очевидно, что
а)
элемент
i
Xlima ∈ тогда и только тогда, когда для любого существует такое
, что
I∈j
ji ≥
i
Xa
∈
;
б)
элемент
i
Xlima ∈ тогда и только тогда, когда существует такое , что для лю-
бого
I∈j
ji ≥
i
Xa
∈
.
Заметим, что для любой направленности
(
)
I∈i
i
X
ii
XlimXlim ⊆ .
Введём соответствие
()
на классе направленностей, полагая , если
limo
()(
limoAX
i
→
)
AXlimXlim
ii
== .
Несложно показать, что соответствие
(
)
limo удовлетворяет первому условию Фреше.
Второе условие Фреше доказывается на основании следующей леммы.
Лемма 1. Для любой направленности
(
)
I∈i
i
X и для любой её поднаправленности
(
)
J∈j
j
Y
ijji
XlimYlimYlimXlim ⊆⊆⊆ .
Доказательство. Пусть
i
Xlima ∈ . Тогда найдётся такое I
∈
0
i , что для любого
. Так как
0
ii ≥
i
Xa ∈
(
)
J∈j
j
Y - поднаправленность направленности
(
)
I∈i
i
X , то по определению под-
направленности существует такое отображение
, что для любого IJ →:i J∈j
()
jij
XY
=
, а
для выделенного значения
найдётся такое I∈
0
i J
∈
0
j , что для любого .
0
jj ≥
()
0
iji ≥
Тогда для любого
. Следовательно,
0
jj ≥
()
jji
YXa =∈
j
Ylima
∈
и
ji
YlimXlim ⊆ .
Включение
jj
YlimYlim ⊆ верно для любой направленности, что отмечалось.
Пусть
j
Ylima ∈ . Докажем, что для любого I
∈
0
i найдётся такое , что
0
ii ≥
i
Xa
∈
.
Действительно, так как
(
)
J∈j
j
Y - поднаправленность направленности
(
)
I∈i
i
X , то существует та-
кое отображение
, что для любого IJ →:i J
∈
j
()
jij
XY
=
, а для произвольного I
∈
0
i най-
29
       Пусть E - некоторое множество, P - класс всех его подмножеств,                              ( X i )i∈I   - некоторая

направленность со значениями в P , (I , ≥ ) - направленное множество.


       Введём определения верхнего и нижнего пределов направленности, полагая
               lim X i = ∩    ∪X     i   ,   lim X i = ∪    ∩X       i   .
                         j∈I i ≥ j                     j∈I i ≥ j


       Очевидно, что
       а) элемент a ∈ lim X i тогда и только тогда, когда для любого j ∈I существует такое

           i ≥ j , что a ∈ X i ;

       б) элемент a ∈ lim X i тогда и только тогда, когда существует такое j ∈I , что для лю-

           бого i ≥ j    a ∈ Xi .

       Заметим, что для любой направленности ( X i )i∈I                      lim X i ⊆ lim X i .


       Введём соответствие (o ) lim на классе направленностей, полагая X i → A((o ) lim ) , если

               lim X i = lim X i = A .


       Несложно показать, что соответствие (o ) lim удовлетворяет первому условию Фреше.
Второе условие Фреше доказывается на основании следующей леммы.


       Лемма 1. Для любой направленности ( X i )i∈I и для любой её поднаправленности (Y j ) j∈J

       lim X i ⊆ lim Y j ⊆ lim Y j ⊆ lim X i .

       Доказательство. Пусть a ∈ lim X i . Тогда найдётся такое i0 ∈I , что для любого i ≥ i0

a ∈ X i . Так как (Y j ) j∈J - поднаправленность направленности ( X i )i∈I , то по определению под-

направленности существует такое отображение i : J → I , что для любого j ∈ J                                    Yj = X i( j) , а

для выделенного значения i0 ∈I найдётся такое j0 ∈ J , что для любого j ≥ j0                               i ( j ) ≥ i0 .

Тогда для любого j ≥ j0       a ∈ X i ( j ) = Y j . Следовательно, a ∈ lim Y j и lim X i ⊆ lim Y j .

       Включение lim Y j ⊆ lim Y j верно для любой направленности, что отмечалось.

       Пусть a ∈ lim Y j . Докажем, что для любого i0 ∈I найдётся такое i ≥ i0 , что a ∈ X i .

Действительно, так как (Y j ) j∈J - поднаправленность направленности ( X i )i∈I , то существует та-

кое отображение i : J → I , что для любого j ∈ J                   Y j = X i ( j ) , а для произвольного i0 ∈I най-

                                                                                                                            29

Страницы