Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 2. Если ,
()()
limoAX
i
→
(
)
(
)
limoBY
i
→ , то
а)
()()
;limoBAYX
ii
∪∪ →
б)
()()
;limoBAYX
ii
∩∩ →
в)
()()
.limoAX
i
′
→
′
Лемма 2. Для любых двух направленностей
(
)
I∈i
i
X и
(
)
I∈i
i
Y
iiiiiiii
YlimXlimYXlimYXlimYlimXlim ∪∪∪∪ =⊆⊆ .
Доказательство. Включение
iiii
YXlimYlimXlim ∪∪ ⊆ верно, так как для любого
и . Включение I∈i
iii
YXX ∪ ⊆
iii
YXY ∪ ⊆
iiii
YXlimYXlim ∪∪ ⊆ справедливо из
общих соображений. Включение
iiii
YXlimYlimXlim ∪∪ ⊆ верно, так как для любого
и .
I∈i
iii
YXX ∪⊆
iii
YXY ∪⊆
Докажем противоположное включение
iiii
YlimXlimYXlim ∪∪ ⊆ . Пусть
(
∩∪
∪∪
I
∈≥
=∈
jji
iiii
YXYXlima
)
. Тогда для любого I
∈
j найдётся такое , что
. Пусть - множество всех тех значений
ji ≥
ii
YXa ∪ ∈
J
I
∈
i , для которых . Из оп-
ределения конфинального множества следует, что
конфинально I . Пусть - множество
всех
, для которых , а - множество всех
ii
YXa ∪ ∈
J
1
J
J∈i
i
Xa ∈
2
J
J
∈
i
, для которых . Тогда
. Следовательно, или конфинально . Тогда или конфинально I ,
так как
конфинально . Если конфинально
I
, то
i
Ya ∈
JJJ =
21
∪
1
J
2
J
J
1
J
2
J
J
I
1
J
(
)
1
J∈i
i
X - поднаправленность на-
правленности
, причём для любого
()
I∈i
i
X
1
J
∈
i
i
X a
∈
. Следовательно,
i
Xlima ∈ . Если
конфинально I , то аналогично
2
J
i
Ylima ∈ . Таким образом, доказываемое включение уста-
новлено.*
Перейдём к доказательству теоремы 2. Если
(
)
(
)
limoAX
i
→ и , то при-
меняя лемму, получаем
()(
limoBY
i
→
)
BAYlimXlimYXlimYXlimYlimXlimBA
iiiiiiii
∪∪∪∪∪∪ ==⊆⊆= .
Следовательно,
BAYXlimYXlim
iiii
∪∪∪ == и .
()()
limoBAYX
ii
∪∪ →
Из определения
(
)
o сходимости направленности, переходя к дополнениям, легко получа-
ем, что
, если
()(
limoAX
i
′
→
′
)
(
)
(
)
limoAX
i
→ .
31
       Теорема 2. Если X i → A ((o ) lim ) , Yi → B ((o ) lim ) , то

        а)     X i ∪ Yi → A ∪ B ((o ) lim );

        б)     X i ∩ Yi → A ∩ B ((o ) lim );
                  ′
        в)     X i → A′ ((o ) lim ).

        Лемма 2. Для любых двух направленностей ( X i )i∈I и (Yi )i∈I

        lim X i ∪ lim Yi ⊆ lim X i ∪ Yi ⊆ lim X i ∪ Yi = lim X i ∪ lim Yi .

       Доказательство.         Включение lim X i ∪ lim Yi ⊆ lim X i ∪ Yi верно, так как для любого

i ∈I         X i ⊆ X i ∪ Yi и Yi ⊆ X i ∪ Yi . Включение lim X i ∪ Yi ⊆ lim X i ∪ Yi справедливо из

общих соображений.           Включение lim X i ∪ lim Yi ⊆ lim X i ∪ Yi верно, так как для любого

i ∈I    X i ⊆ X i ∪ Yi и Yi ⊆ X i ∪ Yi .

       Докажем противоположное включение lim X i ∪ Yi ⊆ lim X i ∪ lim Yi . Пусть

        a ∈ lim X i ∪ Yi = ∩
                             j∈I
                                   ∪ (X
                                   i≥ j
                                          i   ∪ Yi ) .   Тогда для любого j ∈I найдётся такое i ≥ j , что

a ∈ X i ∪ Yi . Пусть J - множество всех тех значений i ∈I , для которых a ∈ X i ∪ Yi . Из оп-

ределения конфинального множества следует, что J конфинально I . Пусть J1 - множество

всех i ∈ J , для которых a ∈ X i , а J2 - множество всех i ∈ J , для которых a ∈ Yi . Тогда

J1 ∪ J2 = J . Следовательно, J1 или J2 конфинально J . Тогда J1 или J2 конфинально I ,

так как J конфинально I . Если J1 конфинально I , то ( X i )i∈J1 - поднаправленность на-

правленности ( X i )i∈I , причём для любого i ∈ J1                a ∈ X i . Следовательно, a ∈ lim X i . Если

J2 конфинально I , то аналогично a ∈ lim Yi . Таким образом, доказываемое включение уста-
новлено.*
       Перейдём к доказательству теоремы 2. Если X i → A((o ) lim ) и Yi → B ((o ) lim ) , то при-
меняя лемму, получаем
        A ∪ B = lim X i ∪ lim Yi ⊆ lim X i ∪ Yi ⊆ lim X i ∪ Yi = lim X i ∪ lim Yi = A ∪ B .

       Следовательно, lim X i ∪ Yi = lim X i ∪ Yi = A ∪ B и X i ∪ Yi → A ∪ B ((o ) lim ) .

       Из определения (o ) сходимости направленности, переходя к дополнениям, легко получа-
           ′
ем, что X i → A′ ((o ) lim ) , если X i → A ((o ) lim ) .




                                                                                                          31

Страницы