Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Если
и
()()
limoAX
i
→
(
)
(
)
limoBY
i
→ , то
()()
limoAX
i
′
→
′
и . Тогда
. Переходя к дополнениям, получаем, что
()(
limoBY
i
′
→
′
)
)()(
limoBAYX
ii
′′
→
′′
∪∪
()()
limoBAYX
ii
∩∩ → .*
Теорема 3. Порядковая топология на алгебре множеств хаусдорфово отделима.
Доказательство. Пусть
, P∈B,A B
A
≠
. Пусть точка Aa
∈
и . Введём классы
и множеств, содержащих точку a и не содержащих точки соответственно. Заметим,
что
Ba ∉
A
B a
A
и замкнуты, а следовательно, B
()
o
(
)
o открыты, так как . Поскольку
и
PBA =∪
∅=BA ∩
A∈
A
, , то B∈B
A
и
B
отделимы непересекающимися окрестностями.*
Задачи.
1.
Пусть
(
)
{
∈= y,xX
a
ℝ
2
2
axy/ ≥ , где
∈
a ℝ
+
{
∈
=
a ℝ и (ℝ
}
0≥a/
+
, ). ≥
Найти
.
()
a
Xlimo
2.
Пусть
(
)
{
∈= y,xX
a
ℝ
2
, где
}
axy/ ≥
∈
a ℝ
+
{
∈
=
a
ℝ и (ℝ
}
0≥a/
+
, ). ≤
Найти .
()
a
Xlimo
3.
Пусть
(
)
{
∈= y,xX
α
ℝ
2
}
α
xy/ ≥ , где
∈
α
ℝ
+
{
∈
=
α
ℝ
}
0>
α
/ и (ℝ
+
, ). ≥
Найти
.
()
α
Xlimo
4.
Доказать согласованность порядкового предела с теоретико-множественными опе-
рациями \ и
Д
.
5.
Доказать, что тогда и только тогда, когда .
()(
limoAX
i
→
)
)
()()
limoAX
i
∅→Д
6.
Пусть . Доказать, что
()(
limoAX
i
→
(
)
(
)
limoAY
i
→ тогда и только тогда, когда
.
()()
limoYX
ii
∅→Д
7.
Пусть
E
- некоторое множество,
(
)
≥,I
,
(
)
≥,J - направленные множества,
(
)
I∈i
i
X и
(
)
J∈j
j
Y - направленности, образованные подмножествами множества
E
. Пусть направленность
()
I∈i
i
X мажорирует направленность
(
)
J∈j
j
Y , т. е. для любого J
∈
j найдётся такое I
∈
0
i , что
для любого
. Доказать, что
0
ii ≥
ij
XY ⊆
ij
XlimYlim ⊆ .
8.
Пусть
E
- некоторое множество,
(
)
≥,I ,
(
)
≥,J - направленные множества,
(
)
I∈i
i
X и
(
)
J∈j
j
Y - направленности, образованные подмножествами множества
E
. Пусть направлен-
32
                                                                  ′                     ′
             Если X i → A((o ) lim ) и Yi → B ((o ) lim ) , то X i → A′ ((o ) lim ) и Yi → B′ ((o ) lim ) . Тогда
   ′    ′
X i ∪ Yi → A′ ∪ B′ ((o ) lim ) . Переходя к дополнениям, получаем, что

 X i ∩ Yi → A ∩ B ((o ) lim ) .*


             Теорема 3. Порядковая топология на алгебре множеств хаусдорфово отделима.
             Доказательство. Пусть A , B ∈ P , A ≠ B . Пусть точка a ∈ A и a ∉ B . Введём классы
A и B множеств, содержащих точку a и не содержащих точки a соответственно. Заметим,
что A и B              (o ) замкнуты,   а следовательно, (o ) открыты, так как A ∪ B = P .                 Поскольку
A ∩ B = ∅ и A ∈ A , B ∈ B , то A и B отделимы непересекающимися окрестностями.*


             Задачи.
                                                           }
             1. Пусть X a = { ( x , y ) ∈ ℝ2 / y ≥ ax 2 , где a ∈ ℝ+ = { a ∈ ℝ / a ≥ 0} и (ℝ+, ≥ ).

Найти (o ) lim X a .

             2. Пусть X a = { ( x , y ) ∈ ℝ2 / xy ≥ a} , где a ∈ ℝ+ = { a ∈ ℝ / a ≥ 0} и (ℝ+, ≤ ).

Найти (o ) lim X a .

             3. Пусть X α = { ( x , y ) ∈ ℝ2 / y ≥ x
                                                       α
                                                           }, где α ∈ ℝ
                                                                      +
                                                                          = { α ∈ ℝ / α > 0} и (ℝ+, ≥ ).

Найти (o ) lim X α .
             4. Доказать согласованность порядкового предела с теоретико-множественными опе-
рациями \ и Д .
             5. Доказать, что X i → A((o ) lim ) тогда и только тогда, когда X i Д A → ∅ ((o ) lim ) .

             6. Пусть X i → A((o ) lim ) . Доказать, что Yi → A((o ) lim ) тогда и только тогда, когда

X i ДYi → ∅ ((o ) lim ) .

             7. Пусть E - некоторое множество, (I , ≥ ) , ( J , ≥ ) - направленные множества, ( X i )i∈I и

(Y )
   j j∈ J    - направленности, образованные подмножествами множества E . Пусть направленность

( X i )i∈I    мажорирует направленность (Y j ) j∈J , т. е. для любого j ∈ J найдётся такое i0 ∈I , что

для любого i ≥ i0 Y j ⊆ X i . Доказать, что lim Y j ⊆ lim X i .

             8. Пусть E - некоторое множество, (I , ≥ ) , ( J , ≥ ) - направленные множества, ( X i )i∈I и

(Y )
   j j∈ J     - направленности, образованные подмножествами множества E . Пусть направлен-




                                                                                                                  32

Страницы