Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

ность
()
I∈i
i
X минорирует направленность
(
)
J∈j
j
Y , т. е. для любого существует такое
, что для любого . Доказать, что
J∈j
I∈
0
i
0
ii ≥
ji
YX ⊆
ji
YlimXlim ⊆ .
9.
Приведите пример
(
замкнутого множества, не являющегося
(
замкнутым.
)
os
)
o
§3. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.
ОБРАТНОЕ МНОЖЕСТВО, КОМПОЗИЦИЯ МНОЖЕСТВ
Пусть
E
- некоторое множество. В дальнейшем будем рассматривать декартово произ-
ведение
E
E
× и его подмножества.
Пусть
. Каждое такое множество можно рассматривать как соответствие
между
EE ×⊆
U
E
и
E
. Если
(
)
U
∈y,x , то это означает, что
x
переходит в
y
при соответствии ,
что можно записать так:
.
U
yx ⎯→⎯
U
Введём понятие множества, обратного данному. Множество
1
-
U
называется множест-
вом,
обратным множеству
U
, если оно содержит все те и только те точки
()
EEy,x
∈ , для
которых
. Таким образом,
()
U
∈x,y
() (){}
U U
∈×∈=
−
x,y/EEy,x
1
.
Например, для множества
[
]
[
]
d,cb,aP
= , где
[
]
b,a ,
[
]
d,c - числовые отрезки, об-
ратным будет множество
.
[][
b,ad,cP ×=
−1
]
Заметим, что для любого множества
U
U
U
−
−
1
1
, а следовательно, множества
U
и
1
-
U
взаимно обратны.
Диагональю декартова произведения
E
E
называется множество
(){}
Ex / xx,
∈
=∆ .
Множество
U
называется симметричным (относительно диагонали), если
1−
U
U
.
Заметим, что можно рассматривать операцию
перехода к обратному множеству, по-
скольку каждому множеству
1−
EE
⊆
U
сопоставляется обратное ему множество
1−
U
. Это
унарная операция на классе всех подмножеств множества
E
E
. Операция инволютивна.
1−
33
ность ( X i )i∈I минорирует направленность (Y j ) j∈J , т. е. для любого j ∈ J существует такое

i0 ∈I , что для любого i ≥ i0 X i ⊆ Y j . Доказать, что lim X i ⊆ lim Y j .

       9. Приведите пример (os ) замкнутого множества, не являющегося (o ) замкнутым.




                               §3. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

    1. ОБРАТНОЕ МНОЖЕСТВО, КОМПОЗИЦИЯ МНОЖЕСТВ

       Пусть E - некоторое множество. В дальнейшем будем рассматривать декартово произ-
ведение E × E и его подмножества.
       Пусть U ⊆ E × E . Каждое такое множество можно рассматривать как соответствие
между E и E . Если ( x , y ) ∈ U , то это означает, что x переходит в y при соответствии U ,
                           U
что можно записать так: x ⎯⎯→ y.


                                                                                   -1
       Введём понятие множества, обратного данному. Множество U                         называется множест-
вом, обратным множеству U , если оно содержит все те и только те точки ( x , y ) ∈ E × E , для
которых ( y , x ) ∈ U . Таким образом,
        −1
       U = {( x , y ) ∈ E × E / ( y , x ) ∈ U } .


       Например, для множества P = [ a , b ]× [ c , d ], где [ a , b ] , [ c , d   ] - числовые отрезки, об-
                                −1
ратным будет множество P = [ c , d ]× [ a , b ] .
                                                        −1
                                                        −1                                                   -1
       Заметим, что для любого множества U             U = U , а следовательно, множества U и U
взаимно обратны.


       Диагональю декартова произведения E × E называется множество ∆ = { ( x, x ) / x ∈ E } .
                                                                                                      −1
       Множество U называется симметричным (относительно диагонали), если U = U .


                                                              −1
       Заметим, что можно рассматривать операцию                   перехода к обратному множеству, по-
                                                                                                     −1
скольку каждому множеству U ⊆ E × E сопоставляется обратное ему множество U . Это
                                                                                         −1
унарная операция на классе всех подмножеств множества E × E . Операция                        инволютивна.

                                                                                                             33

Страницы