Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

10.
Доказать, что для любого
U
2
1
1
2 −
−
=
U
U
.
11.
Пусть и . Доказать, что для любого ℕ . EE, ×⊆
V U VU
⊆ ∈n
nn
VU
⊆
12.
Пусть EE,,,
×
⊆
W V U S
и , . Доказать, что
.
US
⊆
WV
⊆
WUVS
⊆
13.
Доказать, что для любого множества EE
×
⊆
A
, если , то .
1−
⊆
AA
1−
=
AA
14.
Привести примеры множеств, удовлетворяющих условию
U
U
=
2
, .
U
⊆∆
15.
Пусть - семейство множеств, где ,
()
I
A
∈i
i
E
i
A
⊆
I
∈
i
, , если ∅=
ji
AA
∩ ji
≠
,
. Доказать, что
()
∆
∪
∪
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×=
∈
I
AA U
i
ii
U
U
=
2
.
2.
АКСИОМЫ ОКРЕСТНОСТЕЙ
Пусть
E
- некоторое множество и пусть каждой точке Ex
∈
сопоставлен некоторый
класс
подмножеств множества
x
B
E
, называемых окрестностями точки
x
, так что выполнены
следующие условия.
()
1
V Для любой окрестности
U
x
B∈ и для любого множества
U
V
⊇
, где E⊆
V
,
V
x
B
∈
.
()
2
V Для любых двух окрестностей
V U
,
x
B
∈
V U
∩
x
B
∈
.
()
3
V Для любой окрестности
U
x
B∈
U
∈
x .
()
4
V Для любой окрестности существует такая окрестность
W
x
B∈
U
x
B∈ , что для любой
точки
.
U
∈y
W
y
B
∈
Выделенные условия
- называются
()
1
V
()
4
V аксиомами окрестностей. Ясно, что класс
всех окрестностей, определяемых произвольной топологией, удовлетворяет этим условиям.
Верно и обратное.
Теорема 1. Для любой системы окрестностей, удовлетворяющей условиям
)
1
V -
(
)
4
V ,
существует единственная топология, система окрестностей в смысле которой совпадает с ис-
ходной.
Доказательство. Пусть
и Ex ∈
W
x
B
∈
. Докажем, что существует такое множество
, что , причём является окрестностью каждой свое точки. Пусть - мно-
V
WV
⊆∈x
V V
35
                                                    −1   2
                                                    2    −1
             10. Доказать, что для любого U      U =U .
                                                                                         n     n
             11. Пусть U , V ⊆ E × E и U ⊆ V . Доказать, что для любого n ∈ ℕ U ⊆ V .

             12. Пусть    S ,U , V ,W ⊆ E × E            и    S ⊆U ,    V ⊆W .          Доказать,    что
S       V ⊆U        W .
                                                                                  −1           −1
             13. Доказать, что для любого множества A ⊆ E × E , если A ⊆ A , то A = A .
                                                                              2
             14. Привести примеры множеств, удовлетворяющих условию U = U , ∆ ⊆ U .
             15. Пусть (A i )i∈I - семейство множеств, где A i ⊆ E , i ∈ I , A i ∩ A j = ∅ , если i ≠ j ,

         ⎛                ⎞                     2
U = ⎜⎜ ∪ (A i × A i )⎟⎟ ∪ ∆ . Доказать, что U = U .
         ⎝ i∈I            ⎠




        2. АКСИОМЫ ОКРЕСТНОСТЕЙ

             Пусть E - некоторое множество и пусть каждой точке x ∈ E сопоставлен некоторый
класс Bx подмножеств множества E , называемых окрестностями точки x , так что выполнены
следующие условия.
(V1 )   Для любой окрестности U ∈ Bx и для любого множества V ⊇ U , где V ⊆ E , V ∈ Bx .

(V2 )    Для любых двух окрестностей U ,V ∈ Bx                U ∩V ∈ Bx .
(V3 )    Для любой окрестности U ∈ Bx x ∈U .

(V4 )    Для любой окрестности W ∈ Bx существует такая окрестность U ∈ Bx , что для любой

точки y ∈U           W ∈B y .


             Выделенные условия (V1 ) - (V4 ) называются аксиомами окрестностей. Ясно, что класс
всех окрестностей, определяемых произвольной топологией, удовлетворяет этим условиям.
Верно и обратное.


             Теорема 1. Для любой системы окрестностей, удовлетворяющей условиям (V1 ) - (V4 ) ,
существует единственная топология, система окрестностей в смысле которой совпадает с ис-
ходной.
             Доказательство. Пусть x ∈ E и W ∈ Bx . Докажем, что существует такое множество

V , что x ∈V ⊆ W , причём V является окрестностью каждой свое точки. Пусть V - мно-

                                                                                                      35

Страницы