Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

жество всех тех точек
, для которых
W
∈y
W
y
B
∈
. Отметим, что , и следовательно,
. Докажем, что является окрестностью каждой своей точки. Пусть . По усло-
вию . По аксиоме существует такая окрестность
V
∈x
∅≠
V V
V
∈y
W
y
B∈
()
4
V
U
y
B
∈
, что для любой точки
U
∈z
. Тогда . Поскольку
W
z
B∈
VU
⊆
U
y
B
∈
и , то .
VU
⊆
V
y
B∈
Итак, для любой точки
и для любой её окрестности существует такое множе-
ство
Ex ∈
W
U
, что , причём
WV
⊆∈x
U
является окрестностью каждой своей точки. Пусть -
класс всех множеств, каждое из которых является окрестностью любой своей точки. Докажем,
что
- топология.
T
T
Действительно, пустое множество не имеет точки, для которой оно не было бы её окре-
стностью. Значит,
. По аксиоме T∈∅
(
)
1
V
E
- окрестность каждой своей точки. Следова-
тельно,
T
E
∈ .
Пусть
- семейство множеств класса . Пусть . Тогда для любой
точки
()
I
U
∈i
i
T
∪
I
UU
∈
=
i
i
U
∈x
найдётся такое , что
i
U
i
x
U
∈
. При этом
i
U
x
B
∈
. Тогда по аксиоме
(
)
1
V
U
x
B∈ . Таким образом, для любого семейства
(
)
I
U
∈i
i
, где T
i
∈
U
, верно, что . T
i
i
∈
∈
∪
I
U
Пусть
. Так как T, ∈
V U
U
и - окрестности каждой своей точки, то по аксиоме
- окрестность каждой своей точки. Следовательно, . Отсюда следует,
что для любого конечного семейства множеств из класса
T их пересечение входит в класс T .
V
()
2
V
VU
∩ T∈
VU
∩
Итак, введённый класс множеств
T - топология на
E
.
Проверим совпадение классов окрестностей в исходном смысле и относительно тополо-
гии
. Пусть T
V
∈x
x
B
∈
. Тогда по построению существует такое множество
U
, что
, причём
VU
⊆∈x
∈
U
. Тогда - окрестность точки
V
x
относительно топологии
.
Обратно, пусть
- окрестность точки относительно топологии . Тогда существует такое
множество
V
x T
∈
U
, что . По построению
VU
⊆∈x
U
- окрестность каждой своей точки, в
частности
U
x
B∈ . Тогда по аксиоме
(
)
1
V
V
x
B
∈
.
Единственность топологии очевидна, поскольку другая топология имела бы другую со-
вокупность открытых множеств, а следовательно, и классов окрестностей.*
3.
АКСИОМЫ РАВНОМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Пусть
E
- некоторое множество. Непустой класс
H
подмножеств декартова произве-
дения
E
E
× называется равномерностью на
E
, если выполнены следующие условия, называе-
мые аксиомами равномерной структуры.
36
жество всех тех точек y ∈W , для которых W ∈ By . Отметим, что x ∈V , и следовательно,

V ≠ ∅ . Докажем, что V является окрестностью каждой своей точки. Пусть y ∈V . По усло-
вию W ∈ By . По аксиоме (V4 ) существует такая окрестность U ∈ By , что для любой точки

z ∈U      W ∈ Bz . Тогда U ⊆ V . Поскольку U ∈ By и U ⊆ V , то V ∈ By .
        Итак, для любой точки x ∈ E и для любой её окрестности W существует такое множе-
ство U , что x ∈V ⊆ W , причём U         является окрестностью каждой своей точки. Пусть T -
класс всех множеств, каждое из которых является окрестностью любой своей точки. Докажем,
что T - топология.
        Действительно, пустое множество не имеет точки, для которой оно не было бы её окре-
стностью. Значит, ∅ ∈ T . По аксиоме (V1 )      E - окрестность каждой своей точки. Следова-
тельно, E ∈ T .
        Пусть (U i )i∈I - семейство множеств класса T . Пусть U = ∪U i . Тогда для любой
                                                                      i∈I


точки x ∈U        найдётся такое U i , что x ∈U i . При этом U i ∈ Bx . Тогда по аксиоме (V1 )

U ∈ Bx . Таким образом, для любого семейства (U i )i∈I , где U i ∈ T , верно, что   ∪U    i   ∈T .
                                                                                    i∈I

        Пусть U ,V ∈ T . Так как U       иV   - окрестности каждой своей точки, то по аксиоме
(V2 )   U ∩V - окрестность каждой своей точки. Следовательно, U ∩V ∈ T . Отсюда следует,
что для любого конечного семейства множеств из класса T их пересечение входит в класс T .
        Итак, введённый класс множеств T - топология на E .
        Проверим совпадение классов окрестностей в исходном смысле и относительно тополо-
гии T .    Пусть x ∈V ∈ Bx .      Тогда по построению существует такое множество U , что

x ∈U ⊆ V , причём U ∈ T . Тогда V           - окрестность точки x относительно топологии T .
Обратно, пусть V - окрестность точки x относительно топологии T . Тогда существует такое
множество U ∈ T , что x ∈U ⊆ V . По построению U           - окрестность каждой своей точки, в
частности U ∈ Bx . Тогда по аксиоме (V1 ) V ∈ Bx .
        Единственность топологии очевидна, поскольку другая топология имела бы другую со-
вокупность открытых множеств, а следовательно, и классов окрестностей.*


    3. АКСИОМЫ РАВНОМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

        Пусть E - некоторое множество. Непустой класс H        подмножеств декартова произве-
дения E × E называется равномерностью на E , если выполнены следующие условия, называе-
мые аксиомами равномерной структуры.

                                                                                                     36

Страницы