Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

(
1
A
)
Для любого
H
U
∈ и для любого
UV
⊇
, где EE
×
⊆
V
,
H
V
∈ .
(
2
A
)
Для любых
HV U
∈,
HVU
∈
∩ .
(
3
A
)
Для любого
H
V
∈ , где
V
⊆∆
(
)
{
}
Ex/EEx,x
∈
×
∈
=
∆
.
(
4
A
)
Для любого
H
V
∈
V
∈
−1
.
(
5
A
)
Для любого
H
V
∈ найдётся такое
H
W
∈
, что .
VW
⊆
2
Множество
E
вместе с равномерностью
H
для него (равномерной структурой
H
),
т. е. пара
(
, называется
)
H ,
E равномерным пространством. Множества
H
W
,
V
,
U
∈
на-
зываются
окружениями равномерности
H
(окружениями равномерной структуры).
Задачи.
1.
Пусть - окружение некоторой равномерности
V
H
. Доказать, что
. …… ⊆⊆⊆⊆⊆
n
VVVV
32
2. Пусть - окружение некоторой равномерности
W
H
. Доказать, что для любого
ℕ найдется такое окружение ∈n
H
V
∈
, что
W
V
⊆
n
.
3.
Пусть и . Можно ли утверждать, что ?
V
⊆∆
VV
=
2
VV
=
−1
4.
Пусть и . Построить минимальную равномерность, содержащую
.
V
⊆∆
VV
=
2
V
5.
Пусть - некоторое семейство множеств таких, что для любого
()
I
U
∈i
i
I
∈
i
. При каких условиях существует минимальная равномерность, содержащая
все множества данного семейства?
EE
i
×⊆⊆
U
∆
37
( A1 )   Для любого U ∈ H и для любого V ⊇ U , где V ⊆ E × E , V ∈ H .
( A2 )   Для любых U ,V ∈ H               U ∩V ∈ H .
( A3 )   Для любого V ∈ H         ∆ ⊆ V , где ∆ = { ( x , x )∈ E × E / x ∈ E } .
                                 −1
( A4 )   Для любого V ∈ H        V ∈H .
                                                                    2
( A5 )   Для любого V ∈ H       найдётся такое W ∈ H , что W ⊆ V .


          Множество E вместе с равномерностью H для него (равномерной структурой H ),
т. е. пара   (E , H ) , называется равномерным пространством.           Множества U ,V , W ∈ H       на-
зываются окружениями равномерности H (окружениями равномерной структуры).


          Задачи.
          1. Пусть V        -    окружение      некоторой    равномерности         H .   Доказать,   что
         2    3         n
V ⊆V ⊆V ⊆ … ⊆V ⊆ ….
          2. Пусть W     - окружение некоторой равномерности H . Доказать, что для любого
                                                        n
n ∈ ℕ найдется такое окружение V ∈ H , что V ⊆ W .
                                  2                                        −1
          3. Пусть ∆ ⊆ V и V = V . Можно ли утверждать, что V = V ?
                                      2
          4. Пусть ∆ ⊆ V        и V = V . Построить минимальную равномерность, содержащую
V .
          5. Пусть (U i )i∈I    - некоторое семейство множеств таких, что для любого i ∈ I

∆ ⊆ U i ⊆ E × E . При каких условиях существует минимальная равномерность, содержащая
все множества данного семейства?




                                                                                                     37

Страницы