Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Покажем, что класс
H
удовлетворяет условию
(
)
5
A . Пусть
H
W
∈ . Тогда найдётся
такое окружение
∈
V
B , что . По аксиоме
W V
⊆
(
)
4
B найдётся такое
∈
U
B , что
. Тогда , где
VU
⊆
2
WU
⊆
2
H
U
∈
, (поскольку ) и условие выполнено.
Следовательно,
B
H
⊆
(
5
A
)
H
- равномерность, причём
B
- её фундаментальная система окружений.*
Задачи.
1.
Доказать, что совокупность всех симметричных окружений произвольной равномер-
ности образует фундаментальную систему окружений этой равномерности.
2.
Могут ли различные равномерности определять одну и ту же топологию?
3.
Для аддитивной равномерной структуры найти
а)
слабейшую равномерность, определяющую обычную топологию на действитель-
ной прямой;
б)
сильнейшую равномерность, определяющую обычную топологию на действи-
тельной прямой.
4.
Пусть - фундаментальная система окружений равномерности B
H
на
. Дока-
зать, что для любой точки
класс сечений окружений Ex ∈
0
0
x
V
∈
V
B является фундамен-
тальной системой окрестностей точки
.
0
x
5.
АДДИТИВНАЯ РАВНОМЕРНАЯ СТРУКТУРА
Приведём пример равномерной структуры на
ℝ. Рассмотрим класс B всех множеств
плоскости
ℝ×ℝ, определяемых равенствами
(
)
{
∈
=
y,x
U
ℝ
×
ℝ
}
r<
yx/ − , где r - произ-
вольное положительное число, а также класс
H
всех множеств плоскости ℝ×ℝ, каждое из
которых содержит некоторое множество из класса
B . Несложно показать, что класс B
удовлетворяет условиям
(
-
(
, т. е. является фундаментальной системой окружений, а
класс
) )
1
B
4
B
H
- равномерность, определяемая этой фундаментальной системой. Эта равномерность
на
ℝ называется аддитивной равномерной структурой.
Задача. Привести пример счётной фундаментальной системы окружений аддитивной
равномерной структуры.
39
       Покажем, что класс H        удовлетворяет условию ( A5 ) . Пусть W ∈ H . Тогда найдётся

такое окружение V ∈ B , что V ⊆ W .            По аксиоме (B4 ) найдётся такое U ∈ B , что
 2                   2
U ⊆ V . Тогда U ⊆ W , где U ∈ H , (поскольку B ⊆ H ) и условие ( A5 ) выполнено.
Следовательно, H - равномерность, причём B - её фундаментальная система окружений.*


       Задачи.
       1. Доказать, что совокупность всех симметричных окружений произвольной равномер-
ности образует фундаментальную систему окружений этой равномерности.
       2. Могут ли различные равномерности определять одну и ту же топологию?
       3. Для аддитивной равномерной структуры найти
           а) слабейшую равномерность, определяющую обычную топологию на действитель-
                 ной прямой;
           б) сильнейшую равномерность, определяющую обычную топологию на действи-
                 тельной прямой.
       4. Пусть B - фундаментальная система окружений равномерности H               на E . Дока-
зать, что для любой точки x 0 ∈ E класс сечений V x окружений V ∈ B является фундамен-
                                                      0



тальной системой окрестностей точки x 0 .




     5. АДДИТИВНАЯ РАВНОМЕРНАЯ СТРУКТУРА

       Приведём пример равномерной структуры на ℝ. Рассмотрим класс B всех множеств

плоскости ℝ × ℝ, определяемых равенствами U = { ( x , y ) ∈ ℝ × ℝ / x − y < r }, где r - произ-

вольное положительное число, а также класс H всех множеств плоскости ℝ × ℝ, каждое из
которых содержит некоторое множество из класса B . Несложно показать, что класс B
удовлетворяет условиям (B1 ) - (B4 ) , т. е. является фундаментальной системой окружений, а
класс H - равномерность, определяемая этой фундаментальной системой. Эта равномерность

на ℝ называется аддитивной равномерной структурой.


       Задача. Привести пример счётной фундаментальной системы окружений аддитивной
равномерной структуры.




                                                                                                  39

Страницы