Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

6.
РАВНОМЕРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Любая равномерность на
E
определяет на этом множестве топологию.
Пусть
- равномерное пространство,
(
H ,
E
)
H
U
∈
, Ex
∈
. Сечением окружения
U
элементом
x
называется множество
(
)
{
}
VV
∈
∈
y,x/Ey
x
. Отметим, что тогда и
только тогда, когда
()
.
x
y
V
∈
V
∈y,x
Пусть
- класс сечений всевозможных окружений
x
B
H
V
∈
элементом
x
. Сечение
назовём окрестностью элемента
x
V
x
. Таким образом, каждому элементу сопоставляет-
ся класс окрестностей
.
Ex ∈
x
B
Теорема 1. Существует единственная топология, система окрестностей относительно
которой совпадает с введённой системой окрестностей, определяемых как сечения окружений
равномерной структуры.
Доказательство. Покажем, что классы множеств
удовлетворяют аксиомам окрест-
ностей.
x
B
Пусть
, Ex ∈
V
x
B
∈
и
xx
VW
⊇
, где , E
x
⊆
W
H
V
∈
. (Предположения, что -
сечение некоторого окружения не делается.)
x
W
Введём окружение
(
)
{
}
W VU
x
y/EEy,x
∈
∈
= ∪ . Тогда его сечение
, так как . (Здесь используется равенство
xxxx
WWVU
== ∪
xx
VW
⊇
()
xxx
WVWV
∪∪
,
где
.) Так как EE, ×⊆
W V
H
U
∈ , то
∈
xx
UW
x
B . Таким образом, для любой окрест-
ности
и для любого содержащего эту окрестность множества множество входит в
класс
.
x
V
x
W
x
W
x
B
Пусть
, где
xx
,
W V
x
B∈
HW V
∈
, . Тогда
(
)
xxx
WVW V
∩∩
x
B∈ . Таким обра-
зом, пересечение любых двух окрестностей точки является окрестностью этой точки.
Несложно заметить, что для любой окрестности
x
V
x
B
∈
x
x
V
∈
. Действительно, для
любой окрестности
диагональ , а значит,
V V
⊆∆
(
)
V
∈
x,x и
x
x
V
∈
. Таким образом, лю-
бая окрестность из класса
содержит точку .
x
B x
Докажем, что для любой окрестности
∈
x
W
x
B , где
H
W
∈
, существует такая окрест-
ность
, что для любой точки
x
V
x
B∈
x
y
V
∈
x
W
y
B
∈
. Итак, пусть
H
W
∈ . По аксиоме
существует такое окружение
(
5
A
)
H
V
∈
, что
W
V
⊆
2
. Докажем, что для любой точки
, для чего установим, что . Действительно, пусть . Тогда
x
y
V
∈
x
W
y
B∈
xy
WV
⊆
y
z
V
∈
40
     6. РАВНОМЕРНАЯ ТОПОЛОГИЯ

          Любая равномерность на E определяет на этом множестве топологию.
          Пусть (E , H   ) - равномерное пространство, U ∈ H , x ∈ E . Сечением окружения U
элементом x        называется множество V x = {y ∈ E / ( x , y ) ∈V } . Отметим, что y ∈V x тогда и

только тогда, когда ( x , y ) ∈V .
          Пусть Bx - класс сечений всевозможных окружений V ∈ H                   элементом x . Сечение

V x назовём окрестностью элемента x . Таким образом, каждому элементу x ∈ E сопоставляет-
ся класс окрестностей Bx .


          Теорема 1. Существует единственная топология, система окрестностей относительно
которой совпадает с введённой системой окрестностей, определяемых как сечения окружений
равномерной структуры.
          Доказательство. Покажем, что классы множеств Bx удовлетворяют аксиомам окрест-
ностей.
          Пусть x ∈ E , V ∈ Bx и W x ⊇ V x , где W x ⊆ E , V ∈ H . (Предположения, что W x -
сечение некоторого окружения не делается.)
          Введём     окружение     U = V ∪ { ( x , y )∈ E × E / y ∈ W x } .        Тогда   его      сечение

U x = V x ∪ W x = W x , так как W x ⊇ V x . (Здесь используется равенство (V ∪ W            )x   =V x ∪W x ,

где V , W ⊆ E × E .) Так как U ∈ H , то W x = U x ∈ Bx . Таким образом, для любой окрест-

ности V x и для любого содержащего эту окрестность множества W x множество W x входит в

класс Bx .

          Пусть V x , W x ∈ Bx , где V , W ∈ H . Тогда V x ∩ W x = (V ∩ W           ) x ∈ Bx . Таким обра-
зом, пересечение любых двух окрестностей точки является окрестностью этой точки.
          Несложно заметить, что для любой окрестности V x ∈ Bx               x ∈V x . Действительно, для

любой окрестности V диагональ ∆ ⊆ V , а значит, ( x , x ) ∈V            и x ∈V x . Таким образом, лю-

бая окрестность из класса Bx содержит точку x .

          Докажем, что для любой окрестности W x ∈ Bx , где W ∈ H , существует такая окрест-

ность V x ∈ Bx , что для любой точки y ∈V x          W x ∈ By . Итак, пусть W ∈ H . По аксиоме
                                                          2
( A5 )   существует такое окружение V ∈ H , что V ⊆ W . Докажем, что для любой точки

y ∈V x      W x ∈ By , для чего установим, что V y ⊆ W x . Действительно, пусть z ∈V y . Тогда

                                                                                                         40

Страницы