ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
() ()()
W
∈xf,xf
0
и , что и означает непрерывность отображения в точке
.*
()
()
0
0 xf
xf
W
∈ f
0
x
Задача. Доказать, что композиция равномерно непрерывных отображений равномерно
непрерывна.
8.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕННОСТИ
Пусть
- равномерное пространство и
(
H ,
E
)
(
)
I
∈i
i
x - направленность со значениями в
множестве
E
, - направленное множество.
(
I
≥,
)
Направленность
называется
()
I
∈i
i
x фундаментальной, если для любого окружения
H
W
∈ найдется такое , что для любых I∈
0
i
I
∈
j,i , как только и , так
0
ii
≥
0
ij
≥
(
)
W
∈
ji
x,x .
Ясно, что это определение обобщает определение фундаментальной последовательности.
Теорема 1. Любая сходящаяся направленность фундаментальна.
Доказательство. Пусть
- сходящаяся направленность, , где
()
I
∈i
i
x
()()
limTax
i
→
T
-
равномерная топология, определяемая равномерностью
H
. Пусть
H
W
∈
. По аксиоме
найдется такое окружение
(
5
A
)
H
V
∈ , что
W
V
⊆
2
. При этом можно предполагать, что ок-
ружение
симметрично, иначе рассмотрим симметричное окружение . Так как на-
правленность
сходится к точке , то найдется такое , что для любого
V
1−
VV
∩
()
I
∈i
i
x
a
0
i
0
ii ≥
ai
x
V
∈
,
где
- сечение окружения элементом . Тогда, если и , то
a
V
V
a
0
ii ≥
0
ij ≥
ai
x
V
∈
и
. Следовательно, и
aj
x
V
∈
()
V
∈
i
x,a
(
)
V
∈
j
x,a . Так как по предположению окружение
симметрично, то
()
, а тогда
V V
∈a,x
i
(
)
WV
⊆∈
2
ji
x,x .*
Теорема 2. Если фундаментальная направленность имеет поднаправленность, сходя-
щуюся к некоторому элементу, то и исходная направленность сходится к этому элементу.
Доказательство. Пусть направленность
(
)
I
∈i
i
x фундаментальна и
(
)
J
∈j
j
y ее сходящаяся
поднаправленность,
. Пусть
()(
limTay
j
→
)
H
W
∈
. По аксиоме
(
)
5
A найдется такое окру-
жение
, что . Так как направленность
V WV
⊆
2
(
)
I
∈i
i
x фундаментальна, то по окружению
42
( f ( x 0 ) , f ( x )) ∈ W и f ( x 0 ) ∈ W f ( x0 ) , что и означает непрерывность отображения f в точке
x 0 .*
Задача. Доказать, что композиция равномерно непрерывных отображений равномерно
непрерывна.
8. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕННОСТИ
Пусть (E , H ) - равномерное пространство и ( x i )i∈I - направленность со значениями в
множестве E , (I , ≥ ) - направленное множество.
Направленность ( x i )i∈I называется фундаментальной, если для любого окружения
W ∈H найдется такое i0 ∈I , что для любых i , j ∈ I , как только i ≥ i 0 и j ≥ i 0 , так
(x i , x j )∈W .
Ясно, что это определение обобщает определение фундаментальной последовательности.
Теорема 1. Любая сходящаяся направленность фундаментальна.
Доказательство. Пусть ( x i )i∈I - сходящаяся направленность, x i → a ((T ) lim ) , где T -
равномерная топология, определяемая равномерностью H . Пусть W ∈ H . По аксиоме
2
( A5 ) найдется такое окружение V ∈ H , что V ⊆ W . При этом можно предполагать, что ок-
−1
ружение V симметрично, иначе рассмотрим симметричное окружение V ∩V . Так как на-
правленность ( x i )i∈I сходится к точке a , то найдется такое i 0 , что для любого i ≥ i 0 x i ∈V a ,
где V a - сечение окружения V элементом a . Тогда, если i ≥ i 0 и j ≥ i 0 , то x i ∈V a и
x j ∈V a . Следовательно, (a , x i ) ∈V и (a , x j ) ∈V . Так как по предположению окружение
V симметрично, то ( x i , a ) ∈V , а тогда (x i , x j ) ∈V ⊆ W .*
2
Теорема 2. Если фундаментальная направленность имеет поднаправленность, сходя-
щуюся к некоторому элементу, то и исходная направленность сходится к этому элементу.
Доказательство. Пусть направленность ( x i )i∈I фундаментальна и ( y j ) j∈ J ее сходящаяся
поднаправленность, y j → a ((T ) lim ) . Пусть W ∈ H . По аксиоме ( A5 ) найдется такое окру-
2
жение V , что V ⊆ W . Так как направленность ( x i )i∈I фундаментальна, то по окружению
42
