ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
()
V
∈z,y
. Так как , то
x
y
V
∈
(
)
V
∈
y,x
. Поскольку
(
)
V
∈y,x
и
()
V
∈
z,y
, то
. Следовательно, и . Так как,
()
WV
⊆∈
2
z,x
x
z
W
∈
xy
WV
⊆
y
V
y
B
∈
и , то по ак-
сиоме
()
.
xy
WV
⊆
1
A
x
W
y
B∈
Таким образом, совокупность всех окрестностей классов
удовлетворяет аксиомам
окрестностей. Следовательно, существует единственная топология, определяющая ту же самую
систему окрестностей (теорема 1, п.2). Эта топология называется
x
B
равномерной топологией.
Вопрос. Всякая ли топология равномерная?
Задачи.
1.
Доказать, что хаусдорфово отделимая равномерная топология регулярна.
2.
Привести пример несравнимых равномерностей на
E
.
7.
РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть
и - равномерные пространства, и - отображение
множества
()
D
D
H ,
(
E
E
H ,
)
ED:f →
D
в
E
.
Отображение
называется ED:f →
равномерно непрерывным на множестве , если
для любого окружения
найдётся такое окружение
D
E
HW
∈
D
H
V
∈
, что для любой точки
точка .
()
V
∈
′′′
x,x
() ()()
W
∈
′′′
xf,xf
Теорема 1. Если отображение равномерно непрерывно на ED:f →
D
, то непре-
рывно в каждой точке множества
f
D
относительно равномерных топологий на множествах
D
и
E
.
Доказательство. Пусть отображение
равномерно непрерывно на ED:f →
D
и Dx
∈
0
.
Докажем, что отображение
непрерывно в точке . Воспользуемся определением непрерыв-
ности отображения в точке. Пусть
- некоторая окрестность точки , где
f
0
x
()
0
xf
W
()
0
xf
E
HW
∈
.
Здесь
- сечение окружения элементом
()
0
xf
W W
(
)
0
xf . Так как отображение равномерно
непрерывно, то для окружения
найдётся такое окружение , что для любой точки
будет
f
W V
()
V
∈
′′′
x,x
(
)()()
W
∈
′′′
xf,xf
. Рассмотрим окрестность точки , взяв сечение
окружения
элементом . Пусть
0
x
V
0
x
V
0
x
0
x
x
V
∈
. Тогда
(
)
V
∈
x,x
0
, а, следовательно,
41
( y , z ) ∈V . Так как y ∈V x , то ( x , y ) ∈V . Поскольку ( x , y ) ∈V и ( y , z ) ∈V , то
2
( x , z ) ∈V ⊆ W . Следовательно, z ∈ W x и V y ⊆ W x . Так как, V y ∈ By и V y ⊆ W x , то по ак-
сиоме ( A1 ) W x ∈ By .
Таким образом, совокупность всех окрестностей классов Bx удовлетворяет аксиомам
окрестностей. Следовательно, существует единственная топология, определяющая ту же самую
систему окрестностей (теорема 1, п.2). Эта топология называется равномерной топологией.
Вопрос. Всякая ли топология равномерная?
Задачи.
1. Доказать, что хаусдорфово отделимая равномерная топология регулярна.
2. Привести пример несравнимых равномерностей на E .
7. РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть (D , H D ) и (E , H E ) - равномерные пространства, и f : D → E - отображение
множества D в E .
Отображение f : D → E называется равномерно непрерывным на множестве D , если
для любого окружения W ∈ H E найдётся такое окружение V ∈ H D , что для любой точки
( x ′ , x ′′) ∈V точка ( f ( x ′) , f ( x ′′)) ∈ W .
Теорема 1. Если отображение f : D → E равномерно непрерывно на D , то f непре-
рывно в каждой точке множества D относительно равномерных топологий на множествах D и
E.
Доказательство. Пусть отображение f : D → E равномерно непрерывно на D и x 0 ∈ D .
Докажем, что отображение f непрерывно в точке x 0 . Воспользуемся определением непрерыв-
ности отображения в точке. Пусть W f ( x0 ) - некоторая окрестность точки f ( x 0 ) , где W ∈ H E .
Здесь W f ( x0 ) - сечение окружения W элементом f ( x 0 ) . Так как отображение f равномерно
непрерывно, то для окружения W найдётся такое окружение V , что для любой точки
( x ′ , x ′′) ∈V будет ( f ( x ′) , f ( x ′′)) ∈ W . Рассмотрим окрестность V x0 точки x 0 , взяв сечение
окружения V элементом x0 . Пусть x ∈V x0 . Тогда ( x 0 , x ) ∈V , а, следовательно,
41
