Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

4.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОКРУЖЕНИЙ
Пусть
- некоторое равномерное пространство. Введём понятие фундаменталь-
ной системы окружений – основы равномерности
(
H ,
E
)
H
.
Подмножество
называется
B
H
⊆ фундаментальной системой окружений равномер-
ности
H
, если для любого окружения
H
V
∈
найдётся такое окружение
∈
U
B , что
.
VU
⊆
Отметим, что фундаментальная система окружений
обладает следующими свойст-
вами.
B
(
1
B
)
Для любых окружений
∈
W U
, B найдётся такое окружение
∈
U
B , что
.
WVU
∩⊆
(
2
B
)
Для любого ∈
V
B .
V
⊆∆
(
3
B
)
Для любого ∈
W
B найдётся такое
∈
V
B , что
1−
⊆
W
V
.
(
4
B
)
Для любого ∈
W
B
найдётся такое
∈
U
B
, что .
WU
⊆
2
Свойства
-
(
очевидны. Докажем
()
1
B
)
3
B
(
)
4
B
. Пусть
∈
W
B . Тогда найдётся такое
окружение
V
∈ , что . Далее для окружения
WV
⊆
2
V
∈
найдётся окружение
∈
U
B такое, что . Тогда и , где
VU
⊆
22
VU
⊆
WU
⊆
2
∈
U
B . Верно и обратное.
Теорема. Всякая система множеств, содержащихся в
E
E
×
, удовлетворяющая услови-
ям
- , является фундаментальной системой окружений некоторой равномерной струк-
туры.
(
1
B
) )(
4
B
Доказательство. Пусть совокупность множеств
удовлетворяет условиям B
(
)
1
B -
(
)
4
B .
Пусть
H
- класс всех множеств, содержащихся в
E
E
×
, каждое из которых содержит некото-
рое множество класса
B
. Докажем, что
- равномерность.
Очевидно, что класс
удовлетворяет условиям
(
)
1
A -
(
)
3
A .
Покажем, что класс
удовлетворяет условию
(
)
4
A . Пусть
W
∈
. Тогда найдётся
такое окружение
∈
V
B , что . По аксиоме
W V
⊆
(
)
3
B для окружения ∈
V
B найдётся
такое окружение
∈
U
B
, что . Поскольку (так как ), то ,
где
1−
⊆
VU
11 −
⊆
W V
-
W V
⊆
1−
⊆
WU
∈
U
B . Следовательно,
H
W
∈
−1
и условие
(
)
4
A
выполняется.
38
    4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОКРУЖЕНИЙ

         Пусть (E , H   ) - некоторое равномерное пространство.        Введём понятие фундаменталь-
ной системы окружений – основы равномерности H .
         Подмножество B ⊆ H         называется фундаментальной системой окружений равномер-
ности H , если для любого окружения V ∈ H                   найдётся такое окружение U ∈ B , что
U ⊆V .
         Отметим, что фундаментальная система окружений B обладает следующими свойст-
вами.


(B1 )     Для любых окружений U , W ∈ B                   найдётся такое окружение U ∈ B , что
         U ⊆V ∩W .
(B2 )   Для любого V ∈ B       ∆ ⊆V .
                                                                       −1
(B3 )   Для любого W ∈ B найдётся такое V ∈ B , что V ⊆ W .
                                                                  2
(B4 )   Для любого W ∈ B найдётся такое U ∈ B , что U ⊆ W .


         Свойства (B1 ) - (B3 ) очевидны. Докажем (B4 ) . Пусть W ∈ B . Тогда найдётся такое
                               2
окружение V ∈ H , что V ⊆ W .                 Далее для окружения V ∈ H         найдётся окружение
                                         2      2     2
U ∈ B такое, что U ⊆ V . Тогда U ⊆ V и U ⊆ W , где U ∈ B . Верно и обратное.


         Теорема. Всякая система множеств, содержащихся в E × E , удовлетворяющая услови-
ям (B1 ) - (B4 ) , является фундаментальной системой окружений некоторой равномерной струк-
туры.
         Доказательство. Пусть совокупность множеств B удовлетворяет условиям (B1 ) - (B4 ) .
Пусть H - класс всех множеств, содержащихся в E × E , каждое из которых содержит некото-
рое множество класса B . Докажем, что H - равномерность.
         Очевидно, что класс H удовлетворяет условиям ( A1 ) - ( A3 ) .

         Покажем, что класс H      удовлетворяет условию ( A4 ) . Пусть W ∈ H . Тогда найдётся
такое окружение V ∈ B , что V ⊆ W . По аксиоме (B3 ) для окружения V ∈ B найдётся
                                         −1                  -1   −1                            −1
такое окружение U ∈ B , что U ⊆ V . Поскольку V ⊆ W (так как V ⊆ W ), то U ⊆ W ,
                                   −1
где U ∈ B . Следовательно, W ∈ H              и условие ( A4 ) выполняется.

                                                                                                 38

Страницы