Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Пусть
. Определим EE, ×⊆
VU
композицию
V
U
множеств
U
и , полагая
V
() ()
(
){}
U V VU
∈
∈
∃×
∈
= y,t,t,xt/EEy,x
. Здесь . ytx ⎯→⎯⎯→⎯
UV
Пример. Пусть
,
[][
U
c,ab,a ×=
]
[
]
[
]
V
b,ac,a
×
=
, где
[
]
b,a и
[
- числовые
отрезки. Тогда
]
]
c,a
[][
VU
c,ac,a ×
=
, поскольку любому
[
]
c,ax
∈
соответствует произволь-
ное
, а значению соответствует произвольное . Аналогично,
.
[]
b,at ∈
[
b,at ∈
]
][
c,ay ∈
[][]
UV
b,ab,a ×=
Введём квадрат
U
, полагая
=
2
. Далее
23
=
, …,
1−
=
nn
, …
Пример. Пусть
ℝ
(){
∈= y,x
U
2
}
1
22
≤+ yx/ . Тогда , поскольку
произвольному допустимому
[][
U
1111
2
,, −×−=
]
x
соответствует 0 при соответствии
U
, а 0 переходит в произ-
вольное
.
[]
11,y −∈
Заметим, что можно рассматривать операцию взятия композиции. Это бинарная опера-
ция на классе всех подмножеств множества
E
E
×
. Несложно показать, что эта операция ассо-
циативна. Коммутативной она не является.
Задачи.
1.
Найти
1-
, если а)
(
){
∈
= y,x
U
ℝ
2
}
1≤+ yx/ ;
б)
(
){
∈
= y,x
U
ℝ
2
}
2
yx/ ≥ .
2.
Пусть . Доказать, что .
VU
⊆
11 −−
⊆
VU
3.
Пусть
()
{
∈= y,x
U
ℝ
2
}
1≤+ yx/ . Найти
2
.
4.
Пусть
(
){
∈= y,x
U
ℝ
2
}
2
yx/ ≥ . Найти
2
.
5.
Найти композицию множества
(
)
{
∈
=
y,x
U
ℝ
2
}
2
yx/ ≥ и ему обратного.
6.
Пусть B
A
×=
и AB
×
=
V
. Найти
V
и
V
.
7.
Доказать, что для любых EE,,
×
⊆
W V U
(
)(
WVUWVU
=
)
.
8.
Доказать, что для любых и
1
V
2
V
1
2
1
1
1
21
--
V V V V
∩∩ =
−
.
9.
Пусть . Доказать, что .
VU
⊆
22
VU
⊆
34
        Пусть U ,V ⊆ E × E . Определим композицию U                                  V множеств U и V , полагая
        U     V = { ( x , y ) ∈ E × E / ∃ t ( x , t ) ∈V   , (t , y ) ∈ U           }.            V
                                                                                         Здесь x ⎯⎯→    U
                                                                                                     t ⎯⎯→ y.


        Пример. Пусть U = [ a , b ]× [ a , c ] , V = [ a , c ]× [ a , b ] , где [ a , b ] и                           [ a , c ] - числовые
отрезки. Тогда U            V = [ a , c ]× [ a , c ] , поскольку любому x ∈ [ a , c ] соответствует произволь-
ное t ∈ [ a , b ] , а значению t ∈ [ a , b ] соответствует произвольное y ∈ [ a , c ] .                                           Аналогично,
V    U = [ a , b ]× [ a , b ].
                                               2                                 3            2                   n        n −1
        Введём квадрат U , полагая U = U                   U . Далее U = U U , …, U = U U , …


                                                                       }
                                                                                                  2
        Пример. Пусть U = { ( x , y ) ∈ ℝ2 / x 2 + y 2 ≤ 1 . Тогда U = [ − 1, 1 ]× [ − 1, 1 ] , поскольку

произвольному допустимому x соответствует 0 при соответствии U , а 0 переходит в произ-
вольное y ∈ [ − 1, 1 ] .
        Заметим, что можно рассматривать операцию взятия композиции. Это бинарная опера-
ция на классе всех подмножеств множества E × E . Несложно показать, что эта операция ассо-
циативна. Коммутативной она не является.


        Задачи.

        1. Найти U , если а) U = { ( x , y ) ∈ ℝ2 / x + y ≤ 1 };
                       -1




                                     б) U = { ( x , y ) ∈ ℝ2 / x ≥ y 2 .    }
                                                      −1     −1
        2. Пусть U ⊆ V . Доказать, что U ⊆ V .

        3. Пусть U = { ( x , y ) ∈ ℝ2 / x + y ≤ 1 }. Найти U .
                                                                                2




                                                      }
                                                                       2
        4. Пусть U = { ( x , y ) ∈ ℝ2 / x ≥ y 2 . Найти U .

        5. Найти композицию множества U = { ( x , y ) ∈ ℝ2 / x ≥ y 2                                      } и ему обратного.
        6. Пусть U = A × B и V = B × A . Найти U                           V иV                   U .
        7. Доказать, что для любых U ,V , W ⊆ E × E                              (U       V           )   W =U        (V    W ).
                                                                  −1        -1           -1
        8. Доказать, что для любых V1 и V 2                V 1 ∩V 2 = V 1 ∩ V 2 .
                                                       2     2
        9. Пусть U ⊆ V . Доказать, что U ⊆ V .


                                                                                                                                          34

Страницы