Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

дётся такое
, что для любого J∈
0
j
0
jj ≥
(
)
0
iji ≥ . Поскольку
j
Ylima ∈ , то для любого
найдётся , что . А так как J∈
0
j
0
jj ≥
j
Ya ∈
()
jij
XY
=
и
(
)
0
ijii ≥
=
, то и получаем, что
, где . Следовательно,
i
Xa ∈
0
ii ≥
i
Xlima ∈ и последнее включение установлено.*
Как следует из леммы, если
AXlimXlim
ii
== , то для любой поднаправленности
(
)
J∈j
j
Y AYlimYlim
jj
== , т. е.
(
)
(
)
limosAY
j
→
. Следовательно, соответствие удовле-
творяет и второму условию Фреше, а значит, является пределом на алгебре множеств.
()
limo
Введённый предел
называется
()
limo порядковым пределом, а определяемая им тополо-
гия
V порядковой топологией.
Приведём пример порядково сходящейся направленности.
Пусть
- данная направленность, где
()
+
∈Rx
x
A ⊆
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
x
a,
x
aA
x
11
ℝ,
ℝ∈x
+
{
∈= x ℝ и на ℝ
}
0>x/
+
выбрано направление ≥. Тогда
{}
a
t
a,
t
a
x
a,
x
aAlim
RtRt
tx
x
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
++
∈∈
≥
∩∩∪
1111
,
{}{}
aa
x
a,
x
aAlim
RtRt
tx
x
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
++
∈∈
≥
∩∪∩
11
.
Следовательно,
.
{}()()
limoaA
x
→
(Если на
ℝ
+
выбрать противоположное направление , то получится, что ≤
==
xx
AlimAlim
ℝ.)
Теорема1. Если ,
()()
limoAX
i
→
(
)
(
)
limoBY
i
→ и для любого , то
.
I∈i
ii
YX ⊆
BA ⊆
Доказательство. Из определения верхнего и нижнего пределов следует, что для любых
направленностей
и , если для любого
()
I∈i
i
X
()
I∈i
i
Y I
∈
i , то
ii
YX ⊆
ii
YlimXlim ⊆ и
ii
YlimXlim ⊆ . А тогда включение становится очевидным.* BA ⊆
30
дётся такое j0 ∈ J , что для любого j ≥ j0                              i ( j ) ≥ i0 . Поскольку a ∈ lim Y j , то для любого

j0 ∈ J найдётся                j ≥ j0 , что a ∈ Y j . А так как Y j = X i ( j ) и i = i ( j ) ≥ i0 , то и получаем, что

a ∈ X i , где i ≥ i0 . Следовательно, a ∈ lim X i и последнее включение установлено.*


           Как следует из леммы, если lim X i = lim X i = A , то для любой поднаправленности

(Y )
  j j∈ J     lim Y j = lim Y j = A , т. е. Y j → A((os ) lim ) . Следовательно, соответствие (o ) lim удовле-

творяет и второму условию Фреше, а значит, является пределом на алгебре множеств.


           Введённый предел (o ) lim называется порядковым пределом, а определяемая им тополо-
гия V порядковой топологией.


           Приведём пример порядково сходящейся направленности.
                                                                                                      ⎡   1     1⎤
           Пусть        ( Ax )x∈R     +       -   данная             направленность,     где     Ax = ⎢a − , a + ⎥ ⊆ ℝ,
                                                                                                      ⎣   x     x⎦

x ∈ ℝ+ = {x ∈ ℝ / x > 0} и на ℝ+ выбрано направление ≥ . Тогда

                                      ⎡   1        1⎤            ⎡     1     1⎤
           lim Ax =   ∩ ∪ ⎢⎣a − x , a + x ⎥⎦ = ∩ ⎢⎣a − t , a + t ⎥⎦ = { a } ,
                      t ∈R + x ≥ t                      t ∈R +


                                      ⎡   1        1⎤
           lim Ax =   ∪ ∩ ⎢⎣a − x , a + x ⎥⎦ = ∩ { a } = { a } .
                      t ∈R +    x≥t                      t ∈R +


           Следовательно, Ax → { a }((o ) lim ) .

           (Если на ℝ+ выбрать противоположное                                    направление   ≤ , то получится, что

lim Ax = lim Ax = ℝ.)




           Теорема1. Если X i → A ((o ) lim ) , Yi → B ((o ) lim ) и для любого i ∈I                           X i ⊆ Yi , то

 A⊆ B.
           Доказательство. Из определения верхнего и нижнего пределов следует, что для любых
направленностей ( X i )i∈I и (Yi )i∈I , если для любого i ∈I                             X i ⊆ Yi , то   lim X i ⊆ lim Yi и

lim X i ⊆ lim Yi . А тогда включение A ⊆ B становится очевидным.*




                                                                                                                         30

Страницы