Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Введённая топология
называется N топологией сходимости.
Некоторая топология
T
называется согласованной с пределом , если для всякой
направленности
()
из предположения, что
()
limn
I∈i
i
x
(
)
(
)
limnax
i
→ следует, что .
()()
limTax
i
→
Теорема 2. Топология сходимости N согласована с исходным пределом
()
. limn
Доказательство. От противного. Пусть
(
)
(
)
limnax
i
→ , но ↛ . Тогда суще-
ствует такая (
n)открытая окрестность точки , что для любого существует такое
, что . Пусть - множество всех значений
i
x
()(
lima N
)
a
U a I∈i
ij ≥
aj
x U∉ J I
∈
j , при которых . Тогда по
определению конфинального множества
конфинально
I
. Следовательно, сужение направ-
ленности
на множество - поднаправленность исходной направленности. По второму
условию Фреше поднаправленность
aj
x U∉
J
()
I∈i
i
x J
(
)
J∈j
j
x (n)сходится к . При этом для любого
a
J
∈
i
. Множество (n)замкнуто как дополнение (n)открытого множества .
Следовательно,
aai
\Ex
UU
=
′
∈
′
a
U
a
U
′
∈
a
a U . Но , поскольку - окрестность точки . Так как
, то противоречие получено.*
a
a U∈
a
U a
∅=∩
′
aa
UU
Теорема 3. Топология сходимости N - максимальная топология, согласованная с
(
)
limn .
Доказательство. Пусть
T
- некоторая топология, согласованная с
()
. Докажем, что
. Для этого достаточно доказать, что любое
limn
N⊆T
(
)
T замкнутое множество замкнуто.
Пусть множество
()
n
A
(
)
T замкнуто. Пусть - a
(
)
n точка прикосновения множества
A
. Тогда
существует такая направленность
(
)
I∈i
i
x , что Ax
i
∈
, I
∈
i и . Тогда
, так как топология
()(
limnax
i
→
)
)()(
limTax
i
→
T
согласована с
(
)
limn . Следовательно, - точка при-
косновения множества
a
()
T
A
, а значит, Aa
∈
, так как по условию
A
(
)
T замкнуто. Таким обра-
зом, любая
точка прикосновения множества
()
n
A
входит в
A
, т. е.
A
(
замкнуто.*
)
n
6.
ПОРЯДКОВЫЙ ПРЕДЕЛ И ПОРЯДКОВАЯ ТОПОЛОГИЯ
Определения порядкового предела и порядковой топологии на алгебре множеств анало-
гичны определениям порядкового секвенциального предела и порядковой секвенциальной то-
пологии.
28
       Введённая топология N называется топологией сходимости.
       Некоторая топология T называется согласованной с пределом (n ) lim , если для всякой
направленности ( x i )i∈I из предположения, что x i → a ((n ) lim ) следует, что x i → a ((T ) lim ) .


       Теорема 2. Топология сходимости N согласована с исходным пределом (n ) lim .

       Доказательство. От противного. Пусть xi → a ((n ) lim ) , но xi ↛ a ((N ) lim ) . Тогда суще-

ствует такая (n)открытая окрестность U a точки a , что для любого i ∈I существует такое

j ≥ i , что x j ∉ U a . Пусть J - множество всех значений j ∈I , при которых x j ∉ U a . Тогда по

определению конфинального множества J конфинально I . Следовательно, сужение направ-

ленности ( x i )i∈I на множество J - поднаправленность исходной направленности. По второму

условию Фреше поднаправленность (x j ) j∈J (n)сходится к a . При этом для любого i ∈ J

         ′                         ′
x i ∈ U a = E \ U a . Множество U a (n)замкнуто как дополнение (n)открытого множества U a .
                      ′
Следовательно, a ∈ U a .        Но a ∈ U a , поскольку U a - окрестность точки a .                    Так как
   ′
U a ∩ U a = ∅ , то противоречие получено.*


       Теорема 3. Топология сходимости N - максимальная топология, согласованная с (n ) lim .
       Доказательство. Пусть T - некоторая топология, согласованная с (n ) lim . Докажем, что
T ⊆ N . Для этого достаточно доказать, что любое (T ) замкнутое множество (n ) замкнуто.
Пусть множество A       (T ) замкнуто. Пусть a      - (n ) точка прикосновения множества A . Тогда
существует такая      направленность ( x i )i∈I ,   что xi ∈ A , i ∈I       и x i → a ((n ) lim ) .     Тогда

x i → a ((T ) lim ) , так как топология T согласована с (n ) lim . Следовательно, a - (T ) точка при-

косновения множества A , а значит, a ∈ A , так как по условию A (T ) замкнуто. Таким обра-
зом, любая (n ) точка прикосновения множества A входит в A , т. е. A (n ) замкнуто.*




    6. ПОРЯДКОВЫЙ ПРЕДЕЛ И ПОРЯДКОВАЯ ТОПОЛОГИЯ

       Определения порядкового предела и порядковой топологии на алгебре множеств анало-
гичны определениям порядкового секвенциального предела и порядковой секвенциальной то-
пологии.



                                                                                                           28

Страницы