Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

1)
для любой стационарной направленности
(
)
I∈i
i
x , т. е. такой, что для некоторого
и для любого Ea ∈ I∈i ax
i
=
,
(
)
(
)
limnax
i
→ ;
2)
для любой направленности
(
)
I∈i
i
x и для любой её поднаправленности
(
)
J∈j
j
y , если
, то
()()
limnax
i
→
(
)
(
)
limnay
j
→ .
Соответствие, удовлетворяющее условиям Фреше, называется
пределом на классе на-
правленностей или
сходимостью на этом классе.
Если соответствие
удовлетворяет условиям Фреше, то запись
()(
limn
)
(
)
(
)
limnax
i
→
читается так: направленность
()
сходится к a относительно сходимости .
I∈i
i
x
()
limn
()
i
xlimn - это класс всех элементов, к которым направленность сходится. Этот
класс может состоять из одного элемента или более, а может оказаться пустым. Для любой на-
правленности
имеет вполне определенный смысл, это некоторое множество, возмож-
но, пустое. Ясно, что записи
()
I∈i
i
x
()
i
xlimn
(
)()
limnax
i
→ ,
(
)
(
)
(
)
limna,x
i
i
∈
∈I
,
(
)
i
xlimna
∈
равнозначны.
Примеры сходимостей.
1.
Пусть
E
- произвольное множество. Сопоставив каждой стационарной направлен-
ности образующей её элемент из множества
E
, получим сходимость.
2.
Пусть - топологическое пространство. Предел
(
T,E
)
(
)
limT , определяемый топо-
логией
T , сходимость.
3.
Секвенциальный предел, определённый для
E
и продолженный на класс всех ста-
ционарных направленностей со значениями в
E
, и поднаправленностей секвенциально сходя-
щихся последовательностей, является сходимостью.
5.
ТОПОЛОГИЯ СХОДИМОСТИ
Топология, определяемая пределом на классе направленностей, вводится аналогично се-
квенциальной топологии.
Пусть
- пространство со сходимостью
()(
limn,E
)
(
)
limn
на классе направленностей со
значениями в множестве
E
, и EA ⊆ Ea
∈
.
Точка
называется
a
(n)точкой прикосновения множества
A
, если существует такая на-
правленность
()
, где , , что
I∈i
i
x Ax
i
∈
I∈i
(
)
(
)
limnax
i
→ .
26
        1) для любой стационарной направленности ( x i )i∈I , т. е. такой, что для некоторого

             a ∈ E и для любого i ∈I              x i = a , xi → a ((n ) lim ) ;

        2) для любой направленности ( x i )i∈I и для любой её поднаправленности ( y j ) j∈J , если

             x i → a ((n ) lim ) , то y j → a ((n ) lim ) .

        Соответствие, удовлетворяющее условиям Фреше, называется пределом на классе на-
правленностей или сходимостью на этом классе.


        Если соответствие         ((n ) lim )   удовлетворяет условиям Фреше, то запись x i → a ((n ) lim )

читается так: направленность ( x i )i∈I сходится к a относительно сходимости (n ) lim .

        (n) lim xi   - это класс всех элементов, к которым направленность ( x i )i∈I сходится. Этот
класс может состоять из одного элемента или более, а может оказаться пустым. Для любой на-
правленности (n ) lim x i имеет вполне определенный смысл, это некоторое множество, возмож-

но, пустое. Ясно, что записи xi → a ((n ) lim ) ,             (( xi )i∈I , a )∈ (n) lim ,   a ∈ (n ) lim xi равнозначны.


        Примеры сходимостей.


        1. Пусть E - произвольное множество. Сопоставив каждой стационарной направлен-
ности образующей её элемент из множества E , получим сходимость.
        2. Пусть (E ,T ) - топологическое пространство. Предел (T ) lim , определяемый топо-
логией T , сходимость.
        3. Секвенциальный предел, определённый для E и продолженный на класс всех ста-
ционарных направленностей со значениями в E , и поднаправленностей секвенциально сходя-
щихся последовательностей, является сходимостью.


    5. ТОПОЛОГИЯ СХОДИМОСТИ

        Топология, определяемая пределом на классе направленностей, вводится аналогично се-
квенциальной топологии.
        Пусть (E , (n ) lim ) - пространство со сходимостью (n ) lim на классе направленностей со
значениями в множестве E , A ⊆ E и a ∈ E .


        Точка a называется (n)точкой прикосновения множества A , если существует такая на-
правленность ( x i )i∈I , где x i ∈ A , i ∈I , что x i → a ((n ) lim ) .


                                                                                                                           26

Страницы