Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

точки
. Рассмотрим отображение
0
x EU: →
ϕ
, сопоставив окрестности ту точку
, для которой
U
x
∈
0
V
0
x
x V∈
(
)
()
0
xf
xf U∉
. Тогда
(
)
(
)
(
)
limTx
Dx 0
0
→V
ϕ
(см. пример 4, п. 1). Однако со-
ответствующая направленность
(
)
(
)
(
)
U
x
x
f
∈
0
0
V
V
ϕ
не сходится к
(
)
0
xf , поскольку все значения
этой направленности находятся вне окрестности
.*
()
0
xf
U
Задачи.
1.
Пусть
E
- некоторое множество и - класс всех его подмножеств. Является ли
отношение включения ⊆ на
P - направлением?
P
2.
Пусть - отношение порядка на множестве I . Можно ли утверждать, что оно яв-
ляется направлением?
≥
3.
Пусть - направленное множество и . Можно ли утверждать, что
- направленное множество?
(
≥,I
)
)
IJ ⊆
(
≥,J
4.
Найти по каждому из направленных множеств (ℝ, ) и (ℝ, ), если
() ()
xflimT ≥ ≤
а)
()
x
x
xf
1
2
+
=
; б)
(
)
x
exf = ,
а топология на
ℝ обычная.
5.
Пусть ℝ→ℝ, где :f
()
xxf
=
. Существуют ли топологии на ℝ, относительно ко-
торых отображение
разрывно? f
6.
Пусть
:
D ℝ→ℝ, где
(
)
xD - функция Дирихле. Существуют ли топологии на ℝ,
относительно которых отображение
D
непрерывно?
3.
ПОДНАПРАВЛЕННОСТИ
Пусть
()
и ≥,I
(
)
≥,J - некоторые направленные множества, и направленность,
определённая на
I .
()
I∈i
i
x
Пусть - такая направленность, что для любого IJ →:i I
∈
0
i найдётся такое J
∈
0
j ,
что для любого
0
jj ≥
(
)
0
iji ≥ . Направленности, обладающие этим свойством, назовём допус-
тимыми. Множество значений направленности как бы пронизывает множество
I в направле-
нии . Для числовой последовательности ≥
(
)
Nk
k
n
∈
, где
∈
k
n ℕ,
∈
k ℕ, допустимость означает,
22
точки x0 .   Рассмотрим отображение ϕ : U → E , сопоставив окрестности Vx0 ∈ U ту точку

                                                     ( )
x ∈Vx0 , для которой f ( x ) ∉ U f ( x0 ) . Тогда ϕ Vx0 → x0 ((TD ) lim ) (см. пример 4, п. 1). Однако со-

ответствующая направленность         ( f (ϕ (V )))
                                               x0   Vx0 ∈U
                                                             не сходится к f ( x0 ) , поскольку все значения

этой направленности находятся вне окрестности U f ( x0 ) .*


       Задачи.
       1. Пусть E - некоторое множество и P - класс всех его подмножеств. Является ли
отношение включения ⊆ на P - направлением?
       2. Пусть ≥ - отношение порядка на множестве I . Можно ли утверждать, что оно яв-
ляется направлением?
       3. Пусть      (I , ≥ )   - направленное множество и J ⊆ I . Можно ли утверждать, что

( J , ≥) - направленное множество?
       4. Найти (T ) lim f ( x ) по каждому из направленных множеств (ℝ, ≥ ) и (ℝ, ≤ ), если

                                     x2 +1
                      а) f ( x ) =         ;             б) f ( x ) = e x ,
                                      x

              а топология на ℝ обычная.

       5. Пусть f : ℝ→ℝ, где f ( x ) = x . Существуют ли топологии на ℝ, относительно ко-

торых отображение f разрывно?

       6. Пусть D : ℝ→ℝ, где D ( x ) - функция Дирихле. Существуют ли топологии на ℝ,

относительно которых отображение D непрерывно?



    3. ПОДНАПРАВЛЕННОСТИ

       Пусть (I , ≥ ) и ( J , ≥ ) - некоторые направленные множества, и ( x i )i∈I направленность,

определённая на I .
       Пусть i : J → I - такая направленность, что для любого i0 ∈I найдётся такое j0 ∈ J ,

что для любого j ≥ j0 i ( j ) ≥ i0 . Направленности, обладающие этим свойством, назовём допус-

тимыми. Множество значений направленности как бы пронизывает множество I в направле-
нии ≥ . Для числовой последовательности (nk )k∈N , где nk ∈ ℕ, k ∈ ℕ, допустимость означает,




                                                                                                         22

Страницы