Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

()
⎩
⎨
⎧
=
.- ,
,- ,
D
ьноеиррационалесли0
оерациональнесли1
x
x
x
Введём топологию
T на области определения ℝ, полагая открытым любое множество
ℝ\C, где - где конечно или счётно. Значения этого отображения также принадлежат ℝ.
Здесь ℝ будем рассматривать с обычной топологией. Отображение секвенциально непре-
рывно, так как относительно топологии
T сходятся только стационарные и почти стационар-
ные последовательности. Однако оно не будет непрерывным, если
C
D
x
иррационально.
Задачи.
1.
Показать, что предложения, обратные теоремам 1 и 2, неверны.
2.
Пусть - секвенциальное пространство и . Назовём множество
()(
lims,E
)
EA ⊆
A
секвенциально компактным, если для любой последовательности
(
)
n
x , где , Ax
n
∈ Nn
∈
, су-
ществует её подпоследовательность
(
)
k
n
x такая, что
(
)
(
)
limsax
k
n
→ и . Aa ∈
Доказать, что секвенциально непрерывный образ секвенциально компактного множества сек-
венциально компактен.
3.
Пусть - секвенциальное пространство, - секвенциальная топология и
. Если
()(
lims,E
)
S
EA ⊆
A
- компактно относительно топологии и S
(
)
lims
однозначен, то
A
- секвенци-
ально компактно (относительно
). Доказать.
()
lims
4.
Следует ли из секвенциальной компактности компактность относительно секвенци-
альной топологии?
§2. СХОДИМОСТИ И ТОПОЛОГИИ
1.
НАПРАВЛЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И НАПРАВЛЕННОСТИ
Пусть
I
- некоторое множество, на котором определено бинарное отношение . Отно-
шение называется
≥
≥
направлением на I , если оно обладает следующими свойствами:
1) для любого (рефлексивность); I∈i ii ≥
2)
для любых I
∈
k,j,i , если и , то (транзитивность); ji ≥ kj ≥ ki ≥
3)
для любых существует такой элемент I∈j,i I
∈
k , что и . ik ≥ jk ≥
18
                               ⎧ 1, если x - рациональное ,
                      D (x ) = ⎨
                               ⎩ 0 , если x - иррациональное.


       Введём топологию T      на области определения ℝ, полагая открытым любое множество

ℝ\C, где C - где конечно или счётно. Значения этого отображения также принадлежат ℝ.

Здесь ℝ будем рассматривать с обычной топологией. Отображение D секвенциально непре-
рывно, так как относительно топологии T сходятся только стационарные и почти стационар-
ные последовательности. Однако оно не будет непрерывным, если x иррационально.


       Задачи.
       1. Показать, что предложения, обратные теоремам 1 и 2, неверны.
       2. Пусть (E , (s ) lim ) - секвенциальное пространство и A ⊆ E . Назовём множество A
секвенциально компактным, если для любой последовательности ( xn ) , где x n ∈ A , n ∈ N , су-

                                      ( )
ществует её подпоследовательность x nk такая, что x nk → a ((s ) lim ) и a ∈ A .

Доказать, что секвенциально непрерывный образ секвенциально компактного множества сек-
венциально компактен.
       3. Пусть (E , (s ) lim ) - секвенциальное пространство, S - секвенциальная топология и
A ⊆ E . Если A - компактно относительно топологии S и (s ) lim однозначен, то A - секвенци-
ально компактно (относительно (s ) lim ). Доказать.
       4. Следует ли из секвенциальной компактности компактность относительно секвенци-
альной топологии?




                             §2. СХОДИМОСТИ И ТОПОЛОГИИ

    1. НАПРАВЛЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И НАПРАВЛЕННОСТИ

       Пусть I - некоторое множество, на котором определено бинарное отношение ≥ . Отно-
шение ≥ называется направлением на I , если оно обладает следующими свойствами:
    1) для любого i ∈I     i ≥ i (рефлексивность);
    2) для любых i , j , k ∈I , если i ≥ j и j ≥ k , то i ≥ k (транзитивность);
    3) для любых i , j ∈I существует такой элемент k ∈I , что k ≥ i и k ≥ j .



                                                                                           18

Страницы