Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

(os)замкнуто. Пусть точка прикосновения множества , т. е. существует такая последова-
тельность
, что
D
B
(
n
Y
)
B
∈
n
Y , , Nn ∈
(
)
(
)
limosDY
n
→ . Тогда
n
Ya
∉
при любом и Nn ∈ Da
∉
.
Следовательно,
и - (os)замкнуто. B∈D B
Так как и взаимно дополнительные множества, то и (os)открыты. Таким
образом,
и B - непересекающиеся окрестности точек
A B A B
A
A
и
B
.*
Задачи.
1.
Пусть
{
}
XX/X ⊆∈=
0
P A
, где - конечно. Доказать, что - (os)замкнуто
и
(os)открыто.
0
X
A
2.
Пусть
{
}
∅
=
∈= XX/Y
0
P B
, где - конечно. Доказать, что B -
(os)замкнуто и (os)открыто.
0
X
3.
Пусть
{
}
XX/X ⊆∈=
0
P A
, где P
∈
0
X . Доказать, что - (os)замкнуто.
Можно ли утверждать, что
- (os)открыто?
A
A
4.
Пусть
{
}
∅
=
∩∈= XX/Y
0
P B
, где P
∈
0
X . Доказать, что - (os)замкнуто.
Можно ли утверждать, что
B - (os)открыто?
B
5.
Является ли класс измеримых по Жордану множеств, содержащихся в
[
]
10;E
=
,
(os)замкнутым?
6.
Является ли класс измеримых по Лебегу множеств, содержащихся в
[
]
10;E
=
,
(os)замкнутым?
7.
Является ли класс измеримых по Лебегу множеств, содержащихся в
[
]
10;E
=
,
(os)замыканием класса измеримых по Жордану множеств, содержащихся в
E
?
8.
Доказать, что -топология на алгебре множеств является вполне несвязной. sV
6.
СЕКВЕНЦИАЛЬНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Имея секвенциальные предельные переходы, естественно ввести соответствующее опре-
деление непрерывности отображения.
Пусть
, - секвенциальные пространства, отображение
множества
()()
D
limsD
()(
E
limsE
)
ED:f →
D
в
E
, . Dx ∈
0
Отображение
называется f секвенциально непрерывным в точке
0
x , если для любой
последовательности
(
, где
)
n
x Dx
n
∈
Nn
∈
, если
(
)
(
)
Dn
limsxx
0
→ , то
() ()
(
)
(
)
En
limsxfxf
0
→ .
15
(os)замкнуто. Пусть D точка прикосновения множества B , т. е. существует такая последова-
тельность (Yn ) , что Yn ∈ B , n ∈ N , Yn → D((os ) lim ) . Тогда a ∉ Yn при любом n ∈ N и a ∉ D .

Следовательно, D ∈ B и B - (os)замкнуто.
        Так как A и B взаимно дополнительные множества, то A и B (os)открыты. Таким
образом, A и B - непересекающиеся окрестности точек A и B .*


        Задачи.
        1. Пусть A = { X ∈ P / X 0 ⊆ X }, где X 0 - конечно. Доказать, что A - (os)замкнуто
и (os)открыто.
        2. Пусть B = { Y ∈ P / X 0 ∩ X = ∅}, где                   X 0 - конечно.        Доказать, что          B -

(os)замкнуто и (os)открыто.
        3. Пусть A = { X ∈ P / X 0 ⊆ X }, где X 0 ∈ P .                  Доказать, что A          - (os)замкнуто.
Можно ли утверждать, что A - (os)открыто?
        4. Пусть B = { Y ∈ P / X 0 ∩ X = ∅}, где X 0 ∈ P . Доказать, что B - (os)замкнуто.

Можно ли утверждать, что B - (os)открыто?
        5. Является ли класс измеримых по Жордану множеств, содержащихся в E = [0 ;1] ,
(os)замкнутым?
        6. Является ли класс измеримых по Лебегу множеств, содержащихся в E = [0 ;1] ,
(os)замкнутым?
        7. Является ли класс измеримых по Лебегу множеств, содержащихся в E = [0 ;1] ,
(os)замыканием класса измеримых по Жордану множеств, содержащихся в E ?
        8. Доказать, что V s -топология на алгебре множеств является вполне несвязной.




    6. СЕКВЕНЦИАЛЬНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

        Имея секвенциальные предельные переходы, естественно ввести соответствующее опре-
деление непрерывности отображения.
        Пусть (D(s ) lim D ) , (E (s ) lim E ) - секвенциальные пространства, f : D → E отображение
множества D в E , x0 ∈ D .

        Отображение f называется секвенциально непрерывным в точке x0 , если для любой

последовательности ( x n ) , где x n ∈ D n ∈ N , если x n → x0 ((s ) lim D ) , то f ( x n ) → f ( x0 )((s ) lim E ) .



                                                                                                                  15

Страницы